Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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Chiaramente tali assiomi sono verificati se consideriamo <math>X=\mathbb N</math>, l'insieme dei numeri naturali, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+1</math>. Tuttavia possono essere verificati da altri [[modello (logica matematica)|modelli]], ad esempio se <math>X=\{2n: n \in N\}</math>, l'insieme dei numeri pari, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+2</math>. Questo significa che l'insieme dei numeri naturali con lo zero ed il successore ''non'' sono univocamente caratterizzati dagli assiomi (P1),(P2) e (P3). Quello che è importante tuttavia è che gli assiomi di Peano sono sufficienti a caratterizzare ''la struttura'' dei numeri naturali, cioè caratterizzano l'insieme a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]]. Questa proprietà degli assiomi viene chiamata [[categoricità]]. L'affermazione che gli assiomi di Peano sono ''categorici'' è nota nell'ambito della logica formale come [[Teorema di Categoricità]] per gli assiomi di Peano del [[secondo ordine]].

L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di [[Principio di Induzioneinduzione]] ed è uno strumento molto usato nelle dimostrazioni.

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teorema di Gödel]].