Georg Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 17:07, 22 ago 2023

Versione delle 11:06, 7 ott 2023

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== La teoria degli insiemi ==

Cantor diede origine alla [[teoria degli insiemi]] ([[1874]]-[[1884]]).<ref>''Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen''. [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]. 1874.</ref> Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme <math>A</math>, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di <math>A</math>, chiamato l'[[insieme potenza]] di <math>A</math>. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito <math>A</math> ha una grandezza maggiore della grandezza di <math>A</math> stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di [[teorema di Cantor]]). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri [[Numero cardinale|cardinali]] e [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|ordinali]] [[Numero transfinito|transfiniti]], e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'[[alfabeto ebraico]] [[aleph]] dotata di un [[numero naturale]] come indice (<math>\aleph_0</math> Alef zero); per gli ordinali utilizzò la lettera dell'[[alfabeto greco]] [[omega]].

L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno [[slittamento di paradigma]] di prima grandezza.

Cioè, non solo quindi Cantor - andando contro la tradizione Aristotelica, secondo cui l'infinito era definito solo come potenziale - ha concepito l'infinito attuale come un ente misurabile e degno di valore scientifico, ma ha mostrato e dimostrato tramite quello che oggi viene chiamato il metodo della [[Argomento diagonale di Cantor|diagonalizzazione]], che esistono diversi tipi di infinito. L'insieme dei numeri reali, per esempio, ha una grandezza (una cardinalità) maggiore dell'insieme dei numeri naturali, mentre l'insieme dei numeri pari ha la stessa "grandezza" dei numeri naturali, cioè (contro intuitivamente) una parte è uguale all'intero perché è possibile trovare una [[corrispondenza biunivoca]] (una biiezione) tra i due insiemi. Oggi i numeri transfiniti sono accettati dalla maggior parte dei matematici.

== Filosofia e religione ==

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Lettore di Agostino e Spinoza, si dichiarò sempre religioso alla maniera di Spinoza, con una forte simpatia per il cattolicesimo materno. Intratteneva scambi epistolari importanti con Weierstrass, con il filosofo K. Lasswitz e con il teologo gesuita, il cardinale G.B. Franzelin, in parte pubblicati da lui stesso (sulla rivista filosofica fichtiana: ''Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik'', 1887-1888) e si doleva della diffidenza che la nozione di «transfinito» suscitava negli ambienti ecclesiastici (cfr. Thuiller, 1977).

La mappa cantoriana dell'infinito si fonda sull'opposizione indeterminato/determinato e, solo secondariamente, su quella finito/infinito. Si distinguono allora: a) l'assolutamente indeterminato, o infinito inconsistente (il «cattivo» infinito, per es.: «L'insieme di tutto ciò che è pensabile», vedi supra, IV); b) le molteplicità determinate e “finite”; c) il “finito” iterato, infinito potenziale, improprio, ma non «cattivo» (contro Hegel), importantissimo in [[analisi matematica]]; d) le molteplicità «infinite ben determinate», come i transfiniti; ed infine e) Dio, assolutamente infinito.

== Opere di Cantor ==