Quinn nacque a Chihuahua, Messico, durante la [[rivoluzioneRivoluzione messicana]]. Sua madre, Manuela "Nellie" Oaxaca, aveva origini [[aztechi|azteche]]. Il padre, Francisco Quinn, anch'egli nato in Messico, era per metà [[Irlandesi|irlandese]] e [[maya]], una combinazione che al figlio avrebbe in seguito permesso di interpretare ruoli di varie etnie; suo padre morì in un incidente in moto quando lui aveva 9 anni. Anthony crebbe a [[Boyle Heights (Los Angeles)|Boyle Heights]], nei pressi di [[Los Angeles]]; abbandonò presto la scuola (molto più avanti, negli [[anni novanta]], ricevette il suo primo diploma dalla scuola superiore di [[Tucson]]) e si diede alla [[boxe]] eed alla pittura prima di intraprendere la carriera di attore.