Numero irrazionale: differenze tra le versioni

Versione delle 14:47, 18 feb 2022

Versione delle 12:35, 14 nov 2023

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Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque [[numero naturale]] è un numero naturale o è irrazionale.

Un'altra dimostrazione per assurdo che dimostra l'irrazionalità di <math>\sqrt 2</math> è meno conosciuta ma interessante. Essa procede osservando che se <math>\sqrt 2 = \frac{m}{n}</math> allora sfruttando il fatto che <math>2 = \frac{m^2}{n^2}</math> si ottiene <math>\sqrt 2 = \frac{2n - m}{m - n}</math>, quindi una frazione ai minimi termini viene ridotta in termini ancora minori. Questa è una contraddizione se <math>n</math> e <math>m</math> sono interi positivi, dunque l'assunzione che <math>\sqrt 2</math> sia razionale deve essere falsa. Da un [[triangolo rettangolo]] isoscele di cui i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze <math>n</math> e <math>m</math>, tramite una classica costruzione con riga e compasso, è possibile costruire un [[triangolo isoscele]] rettangolo più piccolo tale che i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze <math>m - n</math> e <math>2n - m</math>. Questa costruzione dimostra l'irrazionalità di <math>\sqrt 2</math> con lo stesso tipo di metodo che fu impiegato dagli antichi geometri greci.

=== Irrazionalità dei logaritmi ===

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== Numeri irrazionali ed espansioni decimali ==

Spesso si crede che i matematici definiscano "numero irrazionale" in termini di [[espansione decimale]], chiamando un numero ''irrazionale'' se la sua espansione decimale non si ripete né termina. Nessun matematico utilizza tale definizione, in quanto la scelta della [[Sistema di numerazione|base 10]] sarebbe arbitraria e la definizione tipica è più semplice e più motivata. Tuttavia è vero che un numero razionale si può esprimere nella forma <math>n /m</math>, dove <math>n</math> ed <math>m</math> sono [[Numero intero|interi]], [[se e solo se]] la sua espansione decimale si ripete o è finita. Quando l'[[algoritmo di divisione]] ("in colonna") viene applicato alla divisione di <math>n</math> per <math>m</math>, sono possibili solo <math>m</math> [[Resto|resti]]. Se <math>0</math> appare come resto, l'espansione decimale si conclude. Se <math>0</math> non compare, allora l'algoritmo può richiedere al massimo <math>m - 1</math> passi senza usare ogni resto più di una volta. Dopodiché, un resto deve ricomparire, e quindi l'espansione decimale si ripete. Al contrario, supponiamo di essere di fronte ad un decimale periodico, ad esempio:

:<math>A=0,7\,162\,162\,162\,\dots</math>