Spazio di Hilbert: differenze tra le versioni

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Gli spazi di Hilbert sono stati introdotti dal celebre matematico [[David Hilbert]] all'inizio del [[XX secolo]], ed hanno fornito un enorme contributo allo sviluppo dell'[[analisi funzionale]] ed [[analisi armonica|armonica]]. L'[[interesse]] della nozione introdotta da Hilbert risiede nel fatto che essa evidenzia la conservazione di alcune proprietà degli [[spazio euclideo|spazi euclidei]] in spazi di funzioni infinito dimensionali. Grazie agli ''spazi di Hilbert'' è possibile formalizzare la [[teoria]] delle [[serie di Fourier]] e generalizzarla a [[base di uno spazio vettoriale|basi]] [[teoria del caos|arbitrarie]]. Inoltre, il loro ruolo è cruciale nella formalizzazione matematica della [[meccanica quantistica]].
 
Euristicamente, uno spazio di Hilbert è un'[[insieme]] con una struttura lineare ([[spazio vettoriale]]), su cui è definito un [[prodotto scalare]] (in particolare, quindi, è possibile parlare di [[distanza (matematica)|distanze]], [[angolo|angoli]], [[ortogonalità]]), e tale che sia garantita la [[spazio metrico completo|completezza]] (ossia, che non vi siano dei comportamenti ''patologici'' nel processo di [[limite (matematica)|passaggio al limite]]). Nelle applicazioni, gli elementi di uno spazio di Hilbert (vettori) sono spesso [[successione (matematica)|successioni]] di [[numero complesso|numeri complessi]] o [[funzione (matematica)|funzioni]].
 
In meccanica quantistica uno ''stato fisico'' può essere rappresentato da un elemento (''vettore'' o ''ket'') o da una opportuna combinazione lineare di elementi dello spazio di Hilbert. Lo stato fisico contiene informazioni le quali possono essere esplicitate proiettando il ket di stato su un autostato di una osservabile. Tale operazione genera un elemento il quale appartiene ad un nuovo spazio vettoriale di Hilbert (detto duale) e tale elemento è chiamato ''[[funzione d'onda]]''. Nello spazio di Hilbert dei ket a volte si considerano gli [[Spazio di Hilbert allargato|spazi di Hilbert allargati]], che consentono di formalizzare sia ''stati liberi'' che ''stati legati''.