Distribuzione t di Student: differenze tra le versioni

Versione delle 17:13, 8 dic 2023

Versione delle 17:22, 8 dic 2023

Riga 111:

sapendo che la somma su tutti gli <math>X_i</math> è uguale a <math>N\bar{X}</math>. Dividendo ora a destra e a sinistra per <math>\sigma^2</math> otteniamo a destra delle variabili normali

:<math>\frac{(N-1)S^2}{\sigma^2} = \sum_isum_{i=1}^N \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 - N \left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}\right)^2 = \sum_isum_{i=1}^N \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 - \left(\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{N}}\right)^2.</math>

Abbiamo quindi ottenuto a sinistra una variabile che precedentemente avevamo indicato con <math>k</math>, mentre a destra abbiamo somme di variabili normali standard al quadrato, coincidenti con una variabile chi quadro con <math>N</math> gradi di libertà e un'altra variabile normale anch'essa standard elevata al quadrato, ossia una variabile chi-quadro ad un solo grado di libertà. Sapendo che somme di variabili di tipo chi-quadro con <math>n</math> e <math>m</math> gradi di libertà corrispondono ancora ad una variabile chi-quadro con <math>n+m</math> gradi di libertà otteniamo che la funzione di densità di probabilità di <math>k</math> è di tipo chi-quadro con <math>N-1</math> gradi di libertà.