Azione (fisica): differenze tra le versioni
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===Equazioni variazionali di Eulero===
{{vedi anche|Equazioni variazionali di Eulero}}
Se <math>M</math> è [[insieme compatto|compatto]], le [[condizioni al contorno]] si ottengono specificando il valore di <math>\phi</math> al [[Frontiera (topologia)|frontiera]] di <math>M</math>, altrimenti si ottengono fornendo opportuni limiti per <math>\phi</math> quando <math>x</math> tende all'[[infinito (matematica)|infinito]]. Questo rende possibile ottenere l'insieme delle funzioni <math>\phi</math> tali che tutte le derivate funzionali di <math>S</math> su <math>\phi</math> sono [[zero|nulle]] e <math>\phi</math> soddisfa le condizioni al contorno date. Tale insieme è determinato, considerando le condizioni al contorno, dalle soluzioni [[Soluzione on shell ed off shell|on shell]] delle [[equazioni di Eulero-Lagrange]]:
:<math>\frac{\delta\mathcal{S}}{\delta\phi}= - \partial_\mu
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== Azione relativistica ==
L'approccio hamiltoniano ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Per essere [[invarianza di Lorentz|invariante]], l'azione deve dipendere da quantità invarianti. La più semplice di queste quantità è il [[tempo proprio]], indicato con <math> \tau </math>, ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella. In accordo con la [[relatività ristretta]] si ha che la quantità:
:<math> -(c \, \mathrm d \tau )^2 = - \mathrm ds^2 = -(c \, \mathrm dt)^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2, \ </math>
dove con <math> c </math> si è indicata la velocità della luce e con <math> \mathrm d \tau = - \mathrm ds / c </math> è la variazione infinitesima del tempo proprio. Per un [[punto materiale]] non soggetto a forze l'azione relativistica è data da<ref>L.D. Landau and E.M. Lifshitz ''The Classical Theory of Fields'' Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25</ref>:
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:<math>\mathcal S = -mc \int \mathrm ds = -mc^{2} \int \mathrm d \tau .</math>
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