Geometria euclidea: differenze tra le versioni

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La '''geometria euclidea''' è un sistema matematico attribuito allo scienziato [[Alessandria d'Egitto|alessandrino]] [[Euclide]], che la descrisse nei suoi ''[[Elementi di Euclide|Elementi]]''. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti [[assiomi]] o [[postulati]], di altre proposizioni ([[teorema|teoremi]]) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l'introduzione della [[retta]], del [[Piano (geometria)|piano]], della [[lunghezza]] e dell'[[area]].

Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici,<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/19 19]|volume=1}}</ref> egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera [[Deduzione|deduttiva]] e con un [[Sistema formale|sistema logico]].<ref>{{cita libro|autore=Eves, Howard|anno=1963|titolo=A Survey of Geometry|url=https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves|editore=Allyn and Bacon|p=[https://archive.org/details/surveyofgeometry0001eves/page/10 10]|volume=1}}</ref> Gli ''Elementi'' di Euclide incominciano con un'analisi della [[geometria piana]], attualmente insegnata nelle [[scuole secondarie]] e utilizzata come primo approccio alle [[Dimostrazione matematica|dimostrazioni matematiche]], per poi passare alla [[geometria solida]] in [[tre dimensioni]].

Dopo Euclide sono nati particolari tipi di geometrie che non necessariamente rispettano i cinque postulati; tali geometrie sono definite ''[[geometrie non euclidee|non euclidee]]''.

== I cinque postulati ==

I cinque postulati di Euclide sono:<ref>{{cita|Euclide|p. 7}}.</ref>

# ''Congiungendo due punti qualsiasi si ottiene un [[segmento]] di retta;''

# ''Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;''

# ''Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un [[cerchio]];''

# ''Tutti gli [[Angolo retto|angoli retti]] sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]] tra loro;''

# ''Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli hanno somma minore di due retti.''

[[File:Euclid's postulates.png |thumb|right|I cinque postulati di Euclide e la formulazione del quinto che oggi si preferisce utilizzare]]

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Il quinto postulato è equivalente all'assioma seguente, oggi più usato:

:''Per un punto esterno a una retta data passa una e una sola retta [[Parallelismo (geometria)|parallela]] a questa.''

Sulla violazione di questi postulati, e soprattutto sul quinto, si fondano le [[geometrie non euclidee]] come ad esempio la [[geometria iperbolica]].