Varietà (geometria): differenze tra le versioni
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Una varietà di dimensione <math> n </math> è spesso chiamata brevemente '''<math>n</math>'''''-varietà''. Si definiscono ''curve'' le <math>1</math>-varietà e ''superfici'' le <math>2</math>-varietà.
Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che <math>X</math> sia localmente omeomorfo ad un aperto di <math> \R^n </math>. Se <math>\varphi:U\rightarrow V</math> è un omeomorfismo fra un aperto di <math> X </math> e un aperto di <math> \R^n </math>, allora la coppia <math>(U,\varphi) </math> è chiamata '''carta'''. Quindi se <math> X </math> è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte <math>\mathcal U= \{ ( U_{\alpha}, \varphi_\alpha ) \}_{\alpha \in A}</math> che ricoprono <math> X </math>, ovvero tali che
:<math>X=\bigcup_{\alpha \in A}U_\alpha </math> Una tale famiglia di carte si definisce un [[atlante (topologia)|atlante]]. I nomi "carta" e "atlante" sono scelti in analogia con la [[cartografia]]. Infatti la [[superficie della Terra]] non è descrivibile interamente su un foglio (nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di <math> \R^2 </math>), però è possibile descriverla "a pezzi" tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi [[emisfero nord|Nord]] e [[emisfero sud|Sud]]. Se <math>( U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})</math> e <math>( U_{\beta}, \varphi_{\beta})</math> sono due carte tali che <math>U_{\alpha} \cap U_{\beta} \neq \emptyset</math>, allora la mappa <
\varphi_{\alpha}^{\beta} : &
\varphi_{\beta} \big( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \big) &
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\longmapsto &
\varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1}(x)
\end{matrix} </math></
si chiama ''funzione di transizione''. Le funzioni di transizione sono omeomorfismi. La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una varietà. Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una varietà topologica.
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La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale
:<math> S^n = \big\{ (x_1,\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb R^{n+1}: x_1^2 + \ldots +x_{n+1}^2 = 1 \big\} </math>
è una varietà di dimensione <math> n </math>. Per provarlo, basta osservare che le [[Proiezione (geometria)|proiezioni]]
:<math> \varphi_i(x_1, \ldots , x_{n+1})=(x_1, \ldots , x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots , x_{n+1}) </math> inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di <math> S^n </math> (cioè l'intersezione di <math> S^n </math> con un semispazio del tipo <math> \{x_i>0\} </math> oppure <math> \{ x_i <0 \} </math>), e la palla aperta di <math> \mathbb R^n </math> con centro l'origine e raggio <math> 1 </math>. Quindi la sfera è una <math> n </math>-varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione <math> n </math>. Si può definire un altro atlante di <math> S^n </math> se invece delle proiezioni canoniche si usano le [[proiezione stereografica|proiezioni stereografiche]].
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