Funzione iniettiva: differenze tra le versioni

Versione delle 14:43, 15 mag 2024

Versione attuale delle 11:24, 14 giu 2024

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=== Omomorfismi ===

Un [[omomorfismo di gruppi]] è iniettivo (''monomorfismo'') [[se e solo se]] il suo [[nucleo (matematica)|nucleo]] è costituito dal solo [[elemento neutro]].<ref>{{Cita|Herstein, I. N.|Pag. 61|herstein}}.</ref><ref>{{Cita|Hungerford, T. W.|Pag. 31|hungerford}}.</ref>

In particolare, un'[[applicazione lineare]] tra [[spazi vettoriali]] è iniettiva se e solo se il suo [[Nucleo (matematica)|nucleo]] è composto solo dal [[vettore nullo]].<ref>{{Cita|Lang, Serge|Pag. 94|lang}}.</ref>

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* Esistenza di un'inversa sinistra: esiste una funzione <math>g:B \rightarrow A</math> tale che <math>g \circ f=\mathrm{id}_A.</math>

* Cancellabilità a sinistra per composizione: per ogni insieme <math>T</math> e per ogni funzione <math>g:T \rightarrow A,</math> e <math>h:T \rightarrow A,</math> tali che <math> f \circ g=f \circ h,</math> si ha <math> g=h.</math>

* Identità della [[controimmagine]] dell'immagine di qualunque sottoinsieme del dominio: per ogni <math>S \subseteq A,</math> si ha <math>f^{-1}(f(S))=S.</math>

== Esempi ==

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* Una funzione definita su un insieme con un solo elemento, <math>f\colon\{x\}\to Y</math>, è iniettiva.

* Una funzione definita sull'insieme vuoto, <math>f\colon\emptyset\to Y</math>, è iniettiva.

* Una [[funzione costante]], <math>f_y\colon X\to Y\colon x\mapsto y</math>, definita su un dominio con almeno due elementi, non è iniettiva.

* Per <math>a,b\in\mathbb{R}</math> e <math>a\neq0</math>, la funzione <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\colon x\mapsto ax+b</math> è iniettiva (e suriettiva).

* La [[funzione esponenziale]] <math>\exp\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> non è iniettiva.