Circuito RC: differenze tra le versioni

Versione delle 17:34, 17 apr 2024

Versione delle 19:28, 22 giu 2024

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nella quale <math>\tau = RC</math> è ancora la costante di tempo del circuito. La soluzione generale è data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata:

:<math>v_Cv_{C_o}(t) = v_C(0)A e^{-\frac{t}{\tau}}</math> con <math>A</math> costante da determinare

Per la particolare invece essendo l'equazione di primo grado e il termine forzante sinusoidale, si suppone sia del tipo:

e una soluzione particolare:

:<math>v_{C_p}(t) = K \cos (\omega t + \theta) \ </math>

Dopodiché si sostituisce <math>v_{C_p}(t)</math> nell'equazione differenziale e mediante confronto si determinano i parametri:

dove K è una costante. Dunque:

:<math>v_C(t)K = v_C(0) e^{-\frac{tV_0}{\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}}</math> +e K<math> \costheta = -\arctan(\omega t + \thetatau)</math>

<math>K</math> è il modulo del fasore associato a <math>v_C</math> mentre <math>\theta </math> è la fase (vedi sottosezione successiva)

Dunque la soluzione generica sarà:

:<math>v_{C_g}(t) = v_{C_o}(t) + v_{C_p}(t) = A e^{-\frac{t}{\tau}} + K \cos(\omega t + \theta)</math>

E infine imponendo la condizione iniziale <math>v_C(t = 0) = v_C(0)</math> otteniamo la soluzione finale:

:<math>v_C(t) = (v_C(0) - K \cos(\theta)) e^{-\frac{t}{\tau}} + K \cos(\omega t + \theta)</math>

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la tensione ai capi di ''C'' prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla tensione sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la tensione ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della tensione di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo del [[metodo simbolico]] utilizzando i [[Fasore|fasori]] e la [[trasformata di Fourier]]<ref name=":0">{{Cita libro|nome=Cicogna,|cognome=Giampaolo|titolo=Metodi matematici della Fisica|url=http://worldcat.org/oclc/1194520151|accesso=2021-06-22|data=2015|editore=Springer|OCLC=1194520151|ISBN=978-88-470-5684-8}}</ref>, sostituendo alle grandezze sinusoidali i loro corrispondenti fasori: i risultati sono identici, in quanto vige la [[Legge di Ohm|legge di Ohm simbolica]] anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare il [[metodo operatoriale]] più generale della [[trasformata di Laplace]].

=== Metodo simbolico per la risposta in frequenza ===

Per calcolare la soluzione particolare si può ricorrere anche al [[metodo simbolico]], ricordandoci però che ci descrive solo la situazione a regime ovvero il termine sinusoidale della soluzione, il termine transitorio dato dall'esponenziale va calcolato come sopra.

Utilizzando il [[metodo simbolico]]:

Utilizzando il [[metodo simbolico]] trasformiamo le seguenti grandezze:

:<math>v_C(t) => \mathbf{V}_C</math>

:<math> i_C(t) => \mathbf{I}_C</math>

:<math>V_0\cos(\omega t) => \mathbf{V_0} = V_0</math> (siccome la fase è nulla)

Quindi ricordando l'equazione originaria nel dominio del tempo:

:<math>V_0\cos(\omega t) = R\cdot i_C(t) + v_C(t)</math>

Si passa all'equazione nel dominio delle frequenze:

:<math>V_0 = R\cdot \mathbf{I}_C + \mathbf{V}_C</math>

E sapendo che:

:<math>\mathbf{I}_C = \frac{\mathbf{V_C}}{Z_C} = j\omega C \mathbf{V}_C </math> in cui <math>Z_C = \frac{1}{j\omega C}</math> è l'[[impedenza]] del [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]

si arriva a:

:<math>j \omega \tau \mathbf{V}_C + \frac{1}{\tau} \mathbf{V}_C = \frac{1}{\tau} V_0</math>

da cui si ricava subito la tensione di uscita ai capi del [[Condensatore (elettrotecnica)|condensatore]]<math>\mathbf{V}_C</math>:

:<math>\mathbf{V}_C = \frac{V_0}{1 + j \omega \tau}</math>

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:<math>|\mathbf{V}_C| = \frac{V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}</math>

:<math>argArg \mathbf{V}_C = 0 - \arctan (\omega \tau)</math>

Per ritornare all'analisi nel tempo dobbiamo risostituirericordarci illa modulodefinizione edi l'argomento[[fasore]]:

:<math>v_C(t) = |Re\{\mathbf{V}_C| \cdot arge^{jwt}\}= Re\{|\mathbf{V}_C| e^{Arg \mathbf{V}_C + jwt}\} = \frac{V_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \cos( \omega t - \arctan (\omega \tau))</math>

Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito: