Discussione:Pi greco: differenze tra le versioni

Versione delle 17:21, 14 ago 2024

Versione delle 02:32, 15 ago 2024

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::::Infine la relazione tra <math>\pi</math> e <math>\phi</math> detta così, non è particolarmente interessante: posso scriverne infinite semplicemente chiamando <math>a=4-L_1^2-\phi</math> (dove <math>L_1</math> e <math>N</math> sono quelle dela notazione dell'articolo fonte delle formule) e avere <math>\pi=\frac{N}{2}\lim_{n\rightarrow \infty}2^{n-1}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2+\sqrt{a+\phi}}}}}</math> che per il numero reale <math>a</math>, dato una volta fissato <math>N</math>, mi dà una relazione tra <math>\pi</math> e <math>\phi</math>. Di più! Posso scrivere una relazione tra qualunque numero reale <math>b</math> e <math>\pi</math> scrivendo <math>\pi=\frac{N}{2}\lim_{n\rightarrow \infty}2^{n-1}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots\sqrt{2+\sqrt{a+b}}}}}</math> dove adesso <math>a=4-L_1^2-b</math>. E non c'è nulla di particolarmente speciale o interessante nelle singole esplicitazioni di <math>b</math> e <math>a</math>. Anche la costruzione generale della relazione mi sembra una approssimazione della circonferenza (e quindi di <math>\pi</math>) per un limite di poligoni iscritti, nulla di nuovo mi pare. L'unica cosa, forse, che potrebbe avere una qualche forma di interesse è il fatto che <math>a</math> (nella mia notazione) abbia una qualche forma speciale particolarmente "bella" o "elegante" o "semplice". Ma anche questo, IMHO ovviamente come tutto quello che scrivo, senza una dimostrazione che ci sono solo un lista finita esplicita di pochi casi in qui questo accade (definendo cosa vogliamo intedere per "semplice" riguardo ad <math>a</math>), non risulta molto interessante o enciclopedico. Cioè: per alcuni <math>b</math> conosciamo alcuni <math>a</math> particolarmente "semplici", questo è enciclopedico? Che apporto informativo/conoscitivo vogliono dare al lettore della voce? Diciamo io, quando scrivo qualcosa, mi chiedo questo prima, tu sapresti dirmelo per queste formule? Che a me non è per niente chiaro.

::::P.S. Il numero <math>\phi</math> (che è parente stretto di <math>\sqrt{5}</math>) non è particolarmente importante in matematica (lo è quanto <math>\sqrt{5}</math> e la maggior parte dei numeri irrazionali algebrici, e cioè abbastanza poco, presi singolarmente), quanto piuttosto nelle applicazioni storico-artistiche che ne ha avuto al di fuori.--[[Utente:Mat4free|Mat4free]] ([[Discussioni utente:Mat4free|msg]]) 17:20, 14 ago 2024 (CEST)

:::::OK, finalmente si parla di matematica. In merito alla disquisizione sulle infinite possibilità di riscrivere una formula (con i parametri ''a'' e ''b''), premesso che nell'articolo stesso avevo letto dell'esistenza di una famiglia di equazioni (quindi cosa ben nota), tengo a far notare che questo esercizio di stile può essere applicato alla totalità di equazioni. Faccio solo alcuni esempi, su equazioni presenti nella pagina: ad esempio, nella frazione continua di Ramanujan, il primo membro espresso come <math>\sqrt{\phi^2+1} </math> può essere altresì espresso come <math>\sqrt{\phi+2} </math>, oppure come <math>\sqrt{2\phi^2-\phi} </math>, oppure <math>\sqrt{2\phi^2-1-\frac{1}{\phi}} </math>, oppure <math>\sqrt{2(\phi^3-\phi)-1-\frac{1}{\phi}} </math>, e potrei continuare all'infinito (anche a secondo membro)... Lo stesso dicasi, sempre ad esempio, sulla famosa identità di Eulero <math>e^{i\pi}+1=0 </math>, che posso irrispettosamente riscrivere come <math>e^{i\pi}+\alpha^0=0 </math>, con <math>\alpha</math> appartenente ai reali non nullo... ovviamente è una provocazione. Penso sia chiaro che operazioni speculative simili a queste possono essere fatte su qualsiasi formula. Ora, tra tutte le possibili forme di esprimere una formula, qual'è quella che viene riportata (e ricordata)? Ovvio, la più bella, che coincide con la più semplice. E quindi viene da sé riportare proprio quanto scritto nella pagina di Pi greco a proposito della identità di Eulero, che qui riposto fedemente: "''talvolta considerata la formula matematica più bella che esista in quanto collega tra loro le più importanti costanti matematiche:, il numero di Nepero , l'unità immaginaria , lo 0 e l'1''". Non sono quindi io a definire dei razionali per identificare una qualità di bellezza di una formula, che da sempre si rileva in base alla importanza delle grandezze matematiche (o fisiche) presenti, e la semplicità della formula (operazioni algebriche, potenze o radicali piuttosto che funzioni trascendenti), coefficienti interi (il più piccoli possibile) piuttosto che coefficienti irrazionali. Non per niente, nella fisica, la formula più bella è appunto la famosa <math> E=mc^2 </math> di Einstein. Quindi, come nei due esempi riportati è evidente che la forma nota sia quella più corretta (in quanto più bella, più semplice, più fruibile), così, tornando a noi, nelle formule di <math> \pi </math> in funzione di <math> \phi </math>, la forma più corretta tra le infinite possibili sono appunto quelle riportate, in cui il coefficiente a è intero (anzi, pari a 2 e 3), e qualsiasi altro valore porterebbe a valori irrazionali trascendenti di a (anche perché, volendo seguire il tuo ragionamento, <math> a=4-L_1^2-\phi</math>, risultando <math> L_1=2\sin \frac{\pi}{N}</math>).

:::::In merito al procedimento, l'inizio contempla sì l'approccio di Archimede dei poligoni duplicati (peraltro dichiarato mi sembra), ma poi se ne affranca (altrimenti sarebbe possibile identificare solo una delle tre formule).

:::::In merito alle "rilevanti proprietà geometriche di indubbio rilievo", sono andato a rileggermi l'articolo, e come mi ricordavo c'è proprio un intero paragrafo allo scopo. Di rilievo riporto qui come venga dimostrato che l'ultimo radicale delle formule (ossia <math>\sqrt{2+\phi} </math>, <math>\sqrt{3-\phi} </math> e <math>\sqrt{2-\phi} </math>) rappresenti il lato e tutte le diagonali (eccetto il diametro) di un decagono iscritto nel cerchio di raggio unitario, fatto alquanto singolare. Ci sono anche altre considerazioni, ma non ho voglia di scrivere qui in Tex le formule, vi invito quindi a rileggere ( o leggere?) questo paragrafo, e magari mi piacerebbe anche scambiare qualche puntuale osservazione in proposito.

:::::In merito alla tua affermazione "''Il numero <math>\phi</math> (che è parente stretto di <math>\sqrt{5}</math>) non è particolarmente importante in matematica (lo è quanto la maggior parte dei numeri irrazionali algebrici, e cioè abbastanza poco, presi singolarmente)''", che ovviamente rispetto come opinione (ma anche mi stupisce, in quanto ci troviamo a discutere anche sui contenuti di una pagina monografica su questo numero!), mi trova altresì in completo disaccordo nel contenuto, anche rimanendo nel campo strettamente matematico. Vale la pena ricordare la proprietà fondamentale di questo numero (da cui scaturiscono tutte le altre) ossia essere l'unico numero a soddisfare contemporaneamente la serie geometrica <math> a_{n+1}=ka_{n}</math>, con <math> a_0=1</math>, e <math> k=\phi</math>, e la serie aritmetica a due termini <math> a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}</math>, con <math> a_0=1</math> e <math> a_1=\phi</math> (di cui quella più nota a numeri interi, con <math> a_0=a_1=1</math>, detta di Fibonacci, ne è una delle approssimazioni). Questa particolarissima proprietà si impone in vistose relazioni geometriche (le più note nel pentagono e decagono per la geometria piana, o nel dodecaedro e la sua espansione stellata nell'icosaedro nella geometria dei solidi) già rilevate (e idealizzate) dalla maggior parte dei matematici di tutte le epoche, da Pitagora, Platone, Euclide, Keplero (di cui riporto una famosa frase: "''La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro, il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello.''"), etc... lo stesso Leonardo da Vinci ha disegnato le illustrazioni del famoso libro di Luca Pacioli "''De divina Proportione''". Questo per rimanere nel solo campo matematico, perché, oltre che nelle arti, quali architettura e pittura (ma ok, sono attività antropomorfe), strutture che ne ricalcano la forma (soprattutto per la spirale aurea) sono presenti in botanica, zoologia e astrofisica. Invito a leggere uno delle migliaia di libri in proposito.

:::::By the way, non credo debba essere io a dimostrare la rilevanza del rapporto aureo, che va ben oltre il significato di qualsiasi radicale. E quindi, ribadendo che, e questa perdonate non è una opinione, le due costanti <math>\pi</math> e <math>\phi</math> siano tra le più rilevanti della matematica, ritengo che le relazioni matematiche (che arrivano oggi a malapena alle dita di una mano) che le legano, e le esprimono l'una in funzione dell'altra, sia di rilevanza enciclopedica.

:::::Detto questo, riferendomi all'incipit del post sopra, mi rendo disponibile ad integrare qualche contenuto descrittivo alle formule, come richiesto.

:::::Buonanotte e buon ferragosto. --[[Utente:111angelo111|111angelo111]] ([[Discussioni utente:111angelo111|msg]]) 02:32, 15 ago 2024 (CEST)

== Formule ==