Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 10:17, 18 ott 2005

Versione delle 11:03, 18 ott 2005

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Il primo assioma ci dice che l'insieme <math>0\mathbb N</math> non è vuoto specificandone un elemento di (<math>\mathbb N0</math>), il secondo afferma che laesiste una funzione <math>S</math> ha(la ''funzione successore'') con l'insieme <math>\mathbb N</math> come [[dominio]] e [[codominio]], (P3) ci dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]], (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>. L'ultimo assioma di Peano è noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]],: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore'').

La struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math> '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi di Peano. Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi:

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::allora <math>U=X</math>

Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>. Quello che è importante tuttavia è che tutti i sistemi di Peano sono [[isomorfismo|"isomorfi"]] tra loro e quindi isomorfi al sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math>, il che equivale a dire che gli assiomi di Peano caratterizzano i numeri naturali a meno di ''isomorfismi''.

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teoremi di incompletezza di Gödel|teorema di Gödel]].