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autore2=A. Wallraf|autore3= J. Martinis|titolo=Superconducting Qubits: A Short Review|data=2004|arxiv=cond-mat/0411174}}</ref>.
Riscriviamo le due equazioni di Josephson come :
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial I}{\partial \varphidelta} &= I_c\cos\varphi,delta\\
\frac{\partial \varphidelta}{\partial t} &= \frac{2\pi}{\Phi_0}V.
\end{align}
</math>
Utilizzando del due equazioni della giunzione e applicando la [[regola della catena]] posso calcolare la derivata temporale della corrente:
Immaginiamo di polarizzare una giunzione Josephson a un corrente inferiore al valore critico per la prima equazione di Josephson:
:<math>I_o=I_c\sin \delta_o\ </math>
Se sovrapponiamo un piccolo segnale:
:<math>I_o+dI=I_c\sin (\delta_o+d\delta)\approx I_c\sin \delta_o+I_c\cos \delta_o d\delta\ </math>
(l'approssimazione è fatta con la serie di Taylor), quindi
:<math>dI\approx I_c\cos \delta_o d\delta\ </math>
Quindi:
:<math>\frac {d {\delta}}{d t}=\frac 1{I_c\cos \delta_o}\frac {dI}{d t}\ </math>
Sostituendola nella II equazione di Josephson :
:<math>V(t)=\frac {\hbar}{2e}\frac 1{I_c\cos \delta_o}\frac {dI}{d t}\ </math>
La grandezza :
:<math>L_J=\frac {\hbar}{2e}\frac 1{I_c\cos \delta_o}\ </math>
Si comporta a tutti gli effetti circuitali come una induttanza in quanto è la costante di proporzionalità tra derivata della corrente e differenza di potenziale. Ma in più è una induttanza la cui variazione può essere determinata dalla corrente di polarizzazione, infatti se la corrente di polarizzazione viene aumentata, aumenta <math>\delta_o\ </math> e quindi il suo coseno al denominatore diminuisce e quindi l'induttanza Josephson cresce. ▼
== Josephson inductance ==
When the current and Josephson phase varies over time, the voltage drop across the junction will also vary accordingly; As shown in derivation below, the Josephson relations determine that this behavior can be modeled by a [[kinetic inductance]] named Josephson Inductance.<ref>{{cite arXiv |eprint=cond-mat/0411174 |first1=M. |last1=Devoret |first2=A. |last2=Wallraff |title=Superconducting Qubits: A Short Review |date=2004 |last3=Martinis |first3=J.}}</ref>
Rewrite the Josephson relations as:
:<math>
\frac{\partial I}{\partial t} = \frac{\partial I}{\partial \delta}\frac{\partial \delta}{\partial t}=I_c\cos\delta\cdot\frac{2\pi}{\Phi_0}V
\begin{align}
\frac{\partial I}{\partial \varphi} &= I_c\cos\varphi,\\
\frac{\partial \varphi}{\partial t} &= \frac{2\pi}{\Phi_0}V.
\end{align}
</math>
Che può essere riscritta come la funzione tensione-corrente di una induttanza:
Now, apply the [[chain rule]] to calculate the time derivative of the current:
:<math>
V = \frac{\partial IPhi_0}{2\partialpi tI_c\cos\delta} = \frac{\partial I}{\partial \varphit}=L(\delta)\frac{\partial \varphiI}{\partial t}=I_c\cos\varphi\cdot\frac{2\pi}{\Phi_0}V,.
</math>,
Quindi una giunzione Josephson polarizzata ad una corrente inferiore a quella critica si comporta come una induttanza che dipende dalla differenza di fase:
Rearrange the above result in the form of the [[current–voltage characteristic]] of an inductor:
:<math>
VL(\delta) = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphidelta} = \frac{\partial IL_J}{\partial t}=L(cos\varphi)\frac{\partial I}{\partial tdelta}.
</math>
Here,Avendo definito <math> L_J=L(0)=\frac{\Phi_0}{2\pi I_c} </math> isun aparametro characteristiccaratteristico parameterdella of thegiunzione Josephson junction, nameddetta theinduttanza Josephson Inductance. ▼
▲SiQuindi una giunzione Josephson si comporta a tutti gli effetti circuitali come una induttanza in quanto è la costante di proporzionalità tra derivata della corrente e differenza di potenziale. Ma in più è una induttanza la cui variazione può essere determinata dalla corrente di polarizzazione, infatti se la corrente di polarizzazione viene aumentata, aumenta <math>\ delta_o\delta </math> e quindi il suo coseno al denominatore diminuisce e quindi l'induttanza della giunzione Josephson cresce.
This gives the expression for the kinetic inductance as a function of the Josephson Phase:
:<math>
L(\varphi) = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\varphi} = \frac{L_J}{\cos\varphi}.
</math>
▲Here, <math> L_J=L(0)=\frac{\Phi_0}{2\pi I_c} </math> is a characteristic parameter of the Josephson junction, named the Josephson Inductance.
Note that although the kinetic behavior of the Josephson junction is similar to that of an inductor, there is no associated magnetic field. This behaviour is derived from the kinetic energy of the charge carriers, instead of the energy in a magnetic field.
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