Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 14:21, 18 ott 2005

Versione delle 14:29, 18 ott 2005

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::allora <math>U=X</math>

Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>. QuelloTuttavia che è importante tuttavia è che tutti i sistemi di Peano sono [[isomorfismo|"isomorfi"]] tra loro e quindi isomorfi al sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math>, il che equivale aabbiamo diredetto che gli assiomi di Peano caratterizzano i numeri naturali '''a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]]''isomorfismi''. Più precisamente:

Un ''isomorfismo'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

* manda ciascuno dei due "zeri" nell'altro, cioè <math>f(a_0)=b_0</math> e

* manda elementi "successivi" in elementi "successivi", cioè <math>f(s(a))=t(f(a))</math>.<br>

Un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to B</math> definita da:<br>

:<math>0 \mapsto x_0</math><br>

:<math>1 \mapsto s(x_0)</math><br>

:<math>2 \mapsto s(s(x_0))</math><br>

:...<br>

:<math>n \mapsto s(...s(s(x_0))</math> con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<br>

Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teoremi di incompletezza di Gödel|teorema di Gödel]].