Assiomi di Peano: differenze tra le versioni
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* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.
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La struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math> '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi di Peano. Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi:
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* Eliminando (P4), gli interi modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.
* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, lasciando come funzione successore l'usuale <math>n+1</math>.
== Ruolo nella logica Matematica ==
Esiste una versione più debole degli assiomi di Peano nell'ambito della [[logica dei predicati del primo ordine]] che viene generalmente chiamata con l'acronimo '''[[PA (matematica)|PA]]''' (Peano Arithmetic), ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] per la sua capacità di [[funzione/predicato rappresentabile|rappresentare]] tutte le [[funzione ricorsiva|funzioni ricorsive]] e per il fatto di essere la teoria più semplice per cui vale il [[teoremi di incompletezza di Gödel|teorema di Gödel]].
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