Modello di dispersione esponenziale: differenze tra le versioni

Versione delle 13:21, 2 nov 2024

Versione delle 15:25, 2 nov 2024

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{{DISPLAYTITLE:Famiglie di dispersione esponenziale}}

{{F|matematica|novembre 2024}}{{W|matematica|novembre 2024}}

Le famiglie di dispersione esponenziale sono un insieme di modelli parametrici, appartenenti a una classe più ampia, esprimibile tramite una funzione di distribuzione ascrivibile a

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<math>p(y| \theta,\phi) = \exp{\left\{\frac{\theta y-b(\theta)}{a(\phi) }+c(y, \phi)\right\}}</math>

in cui <math>y\in \mathcal{S}\subseteq \mathbb{R}</math>, <math>\theta\in\Theta\subseteq\mathbb{R}</math>, <math>\phi>0</math>, <math>a(\phi)>0</math>. Il parametro <math>\theta</math> è detto "parametro naturale", mentre <math>\phi</math> è detto "parametro di dispersione". Spesso <math>a(\phi)=\phi</math> oppure <math>a(\phi)=\phi/w</math>, con <math>w</math> costante nota. Inoltre, per alcuni importanti modelli, come [[Distribuzione di Poisson|Poisson]], [[Distribuzione esponenziale|esponenziale]] e [[Distribuzione di Bernoulli|Bernoulli]], <math>\phi=1</math>, dunque sono parametrizzate solo da <math>\theta</math>.<ref name=":0">{{Cita libro|autore=|nome=Alessandra|cognome=Salvan|autore2=|nome2=Nicola|cognome2=Sartori|nome3=Luigi|cognome3=Pace|autore3=|titolo=Modelli Lineari Generalizzati|annooriginale=2020|editore=Springer|città=Milano|ISBN=978-88-470-4001-4}}</ref>

Esiste anche una versione vettoriale, che si applica per risposte <math>\mathbf y\in\mathbb R^k</math> multivariate, ovvero

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La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle [[Analisi della regressione|analisi di regressione]] e allo studio dei [[Modello lineare generalizzato|modelli lineari generalizzati]].

== Media, varianza e cumulanti di ordine superiore ==

Definendo la [[Cumulanti|funzione generatrice dei cumulanti]] <math>K_Y (t|\theta,\phi)</math> come il logaritmo della [[funzione generatrice dei momenti]] <math>M_Y (t|\theta,\phi) = \mathbb E[e^{tY}]</math>, si ottiene

<math>

\begin{array}{l}

M_Y(t|\theta,\phi) = \mathbb E[e^{tY}]=\int_\mathcal{S} e^{ty}p(y|\theta,\phi)dy =\exp\left\{\frac{b(\theta+t\cdot a(\phi))-b(\theta)}{a(\phi)}\right\} \\[12pt]

K_Y(t|\theta,\phi)=\log M_Y (t|\theta,\phi)=\frac{b(\theta+t\cdot a(\phi))-b(\theta)}{a(\phi)}

\end{array}

</math>

da cui si possono ricavare i generici cumulanti di ordine <math>r</math> derivando <math>r</math> volte <math>K_Y</math> in <math>t=0</math>, risulta pertanto

<math>\kappa_r(Y)=\left.\frac{\partial^r K_Y(t|\theta,\phi)}{\partial t^r}\right|_{t=0}=a(\phi)^{r-1}b^{(r)}(\theta)</math>

dove <math>b^{(r)}</math> denota la derivata <math>r</math>-esima di <math>b</math>, <math>r=1,2,3,\dots</math> .

A partire da questo risultato è facile ottenere le espressioni per media e varianza della variabile <math>Y</math>:

<math>\begin{array}{l}

\mathbb{E}[Y]=\kappa_1(Y)=b'(\theta) \\[10pt]

\text{Var}(Y) = \kappa_2(Y)=a(\phi)b''(\theta)

\end{array}</math>

e poiché <math>\mathrm{Var}(Y) > 0 </math> e <math>a(\phi)>0</math> consegue che <math>b''(\theta)>0</math>, vale a dire che <math>b(\theta)</math> è una [[funzione convessa]] e <math>b'(\theta)=\mu(\theta)= \mathbb{E}[Y]</math> è una [[Funzione monotona|funzione strettamente crescente]], con dominio <math>\Theta</math> e codominio lo spazio delle medie <math>\mathcal{M}</math>, dunque anche [[Corrispondenza biunivoca|biiettiva]], con [[Funzione inversa|inversa]] <math>\theta(\mu)</math>.

I cumulanti di ordine 3 e 4 danno rispettivamente una misura di [[Simmetria (statistica)|asimmetria]] e [[curtosi]].

=== Funzione di varianza ===

Si è visto <math>\mathrm{Var}(Y)</math> esprimibile come funzione di <math>\phi</math> e di <math>\theta</math>, ma poiché <math>\theta</math> è in relazione biunivoca con <math>\mu</math>, è possibile scrivere<ref name=":0" />

<math>\mathrm{Var}(Y)=a(\phi)b''(\theta) = a(\phi)v(\mu ) </math>

in cui <math>v(\mu)</math> viene denominata "funzione di varianza". La funzione di varianza caratterizza, assieme ad <math>a(\phi)</math>, una precisa famiglia di dispersione esponenziale.

=== Parametrizzazione con media e funzione di varianza ===

<references />{{Portale|statistica}}

[[Categoria:Statistica]]

[[Categoria:Inferenza statistica]]

__NONINDICIZZARE__