Modello di dispersione esponenziale: differenze tra le versioni
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<math>p(\mathbf{y}|{\boldsymbol\theta},\phi)=\exp{\left\{\frac{{\boldsymbol\theta}^T\mathbf y - b(\boldsymbol\theta )}{a(\phi)}+c(\mathbf y, \phi)\right\}}</math>
in cui <math>\phi</math> è ancora una grandezza scalare.<ref name=":1">{{Cita pubblicazione|autore=|nome=Bent|cognome=Jørgensen|anno=1987|titolo=Exponential Dispersion Models|rivista=Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological)|volume=49|numero=2|pp=127-162|urlarchivio=http://www.jstor.org/stable/2345415}}</ref>
La trattazione delle famiglie di dispersione esponenziale nella forma sopra specificata risulta particolarmente funzionale alle [[Analisi della regressione|analisi di regressione]] e allo studio dei [[Modello lineare generalizzato|modelli lineari generalizzati]].
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=== Parametrizzazione con media e funzione di varianza ===
Per le ragioni presentate precedentemente si può pensare di esprimere l'intera distribuzione come espressione di media <math>\mu</math> e varianza <math>\sigma^2=a(\phi)v(\mu)</math> e a tal fine introdurre una notazione compatta <math>Y\sim DE(\mu, a(\phi)v(\mu))</math>, con <math>\mu\in\mathcal{M}, \ \phi>0,\ a(\phi)>0</math>.<ref name=":1" />
== Principali famiglie di dispersione esponenziale ==
La classe delle famiglie di dispersione esponenziale, come visto, è in grado di racchiudere sia distribuzioni continue, che discrete. La tabella sottostante riassume i principali modelli che ne fanno parte, le loro caratteristiche e le relazioni tra i parametri tradizionali e quelli della dispersione esponenziale.
{| class="wikitable"
|+
! colspan="2" |Distribuzioni continue
!<math>\mathcal S</math>
!<math>\theta</math>
!<math>\Theta</math>
!<math>b(\theta)</math>
!<math>\phi</math>
!<math>a(\phi)</math>
!<math>\mathcal M</math>
!<math>v(\mu)</math>
|-
|[[Distribuzione normale]]
|<math>\mathcal N(\mu, \sigma^2)</math>
|<math>\mathbb R</math>
|<math>\mu</math>
|<math>\mathbb R</math>
|<math>\theta^2/2</math>
|<math>\sigma^2</math>
|<math>\sigma^2</math>
|<math>\mathbb R</math>
|<math>1</math>
|-
|[[Distribuzione Gamma|Distribuzione gamma]]
|<math>Ga\left(\alpha, \frac{\alpha}{\mu}\right)</math>
|<math>[0, +\infty)</math>
|<math>-1/\mu</math>
|<math>(-\infty, 0)</math>
|<math>-\ln(-\theta))</math>
|<math>1/\alpha</math>
|<math>1/\alpha</math>
|<math>(0, +\infty)</math>
|<math>\mu^2</math>
|-
! colspan="2" |Distribuzioni discrete
!<math>\mathcal S</math>
!<math>\theta</math>
!<math>\Theta</math>
!<math>b(\theta)</math>
!<math>\phi</math>
!<math>a(\phi)</math>
!<math>\mathcal M</math>
!<math>v(\mu)</math>
|-
|[[Distribuzione binomiale]]
(riscalata)
|<math>\frac{1}{m}Bi(m, \mu)</math>
|<math>\left\{0, \frac{1}{m}, \frac{2}{m}, \dots,1\right\}</math>
|<math>\ln\left(\frac{\mu}{1-\mu} \right)</math>
|<math>\mathbb R</math>
|<math>\ln(1+\exp(\theta))</math>
|<math>1</math>
|<math>1/m</math>
|<math>(0,1)</math>
|<math>\mu(1-\mu)</math>
|-
|[[Distribuzione di Poisson]]
|<math>Po(\mu)</math>
|<math>\mathbb N</math>
|<math>\ln{\mu}</math>
|<math>\mathbb R</math>
|<math>\exp(\theta)</math>
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>(0, +\infty)</math>
|<math>\mu</math>
|}
rientrano nella classe anche la [[Distribuzione di Pascal|distribuzione binomiale negativa]], la [[distribuzione normale inversa]] e la [[distribuzione di Tweedie]].<references />{{Portale|statistica}}
[[Categoria:Statistica]]
[[Categoria:Inferenza statistica]]
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