Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 01:05, 12 feb 2023

Versione delle 22:18, 14 nov 2024

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La funzione di Cantor <math>f:[0,1]\rightarrow[0,1]</math> è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero ''x'' in [0,&nbsp;1] in [[sistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione, 1/3 si scrive come 0.1₃ e 2/3 si scrive come 0.2₃. Notiamo che alcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come 0.0222...₃ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le cifre successive con "0".

#Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".

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== Proprietà ==

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo [0,&nbsp;1] in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di [0,&nbsp;1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0.''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n022222..., 0.''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo