Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 22:26, 14 nov 2024

Versione delle 22:37, 14 nov 2024

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La funzione di Cantor <math>f:[0,1]\rightarrow[0,1]</math> è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero <math>x</math> \in <math>[0, 1]</math> in [[sistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione:<math> 1/3 \to 0</math>, <math>1_3, 2/3 \to 0,2_3</math>. Notiamo che alcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio <math>1/3 \to 0.0222\ldots</math>₃ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti <math>0.1 si scrive anche come =0.09999...\ldots</math>). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "<math>1"</math>.

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "<math>1"</math> con un "<math>2"</math> e tutte le cifre successive con "<math>0"</math>.

#Sostituiamo tutte le cifre "<math>2"</math> con "<math>1"</math>.

#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è ''<math>f''(''x'')</math>.

Ad esempio:

* <math>1/4 = 0.02020202...₃\ldots_3 diventa\to 0.01010101...₂01010101_2 = 1/3</math>. Quindi ''<math>f''(1/4)=(1/3)</math>.

* <math>1/5 = 0.01210121...<sub>3\ldots_3</submath>, al passo 2 diventa <math>0.02000000...\ldots</math>, quindi <math>0.01000000...₂\ldots_2 = 1/4</math>. Quindi ''<math>f''(1/5)=1/4</math>.

=== Come limite di una successione ===