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=== Come limite di una successione ===
La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in <math>[0,1]</math>, costruite in questo modo:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;
*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: 2<sup>n</sup> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)<sup>^n</supmath> e 2<supmath>2^n-1</supmath>-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza <math>(1/\over 3)<sup>^n</supmath>. Per ogni n∈N risulta f<submath>n \in \N</submath> risulta <math>f_n(0)=0</math>, f<sub>n</submath>f_n(1)=1</math>. In figura sono disegnate f<submath>0f_0</submath>, f<submath>1f_1</submath> e f<submath>2f_2</submath>.
[[File:Cantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]
Si può "costruire" la ''<math>n''+1</math>-esima poligonale f<submath>f_{n+1}</submath> come una trasformazione della f<submath>nf_n</submath>: infatti, detti Ip
<sub>k</sub><supmath>I_k^{(n)</sup>}, k=1, …\ldots, 2<sup>^n</supmath> e J<sub>k</sub><supmath>J_k^{(n)</sup>}, k=1, …\ldots, 2<sup>^n-1</supmath>-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J<sub>k</sub><supmath>f(J_k^{(n)</sup>}) = {k/2<sup>^n}</supmath>}), allora è f<submath>f_{n+1</sub>} = f<sub>nf_n</submath> in J<sub>k</sub><supmath>J_k^{(n)}\forall k</supmath> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f<submath>nf_n</submath> (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo I<sub>k</sub><supmath>I_k^{(n)}</supmath>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<submath>I_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</supmath> e I<submath>I_{2k</sub><sup>}^{(n+1)}</supmath>, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo J<submath>J_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</supmath>.
Si può provare che risulta:
:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\big\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in ''<math>[0, 1]''</math>. Dunque per ''<math>n''→∞ \mapto \inf</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.
== Proprietà ==
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