Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 22:53, 14 nov 2024

Versione attuale delle 00:05, 15 nov 2024

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=== Con le basi ===

La funzione di Cantor <math>f:\colon [0,1]\rightarrow[0,1]</math> è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero <math>x \in [0, 1]</math> in [[sistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione: <math> 1/3 \to =0,1_3,</math>, e <math>1_3, 2/3 \to =0,2_3</math>. Notiamo che alcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio <math>1/3 \to =0.,0222\ldotsldots_3</math>₃ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti <math>0.,1=0.,09999\ldots</math>). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra <math>1</math>.

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra <math>1</math> con un <math>2</math> e tutte le cifre successive con <math>0</math>.

#Sostituiamo tutte le cifre <math>2</math> con <math>1</math>.

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Ad esempio:

* <math>1/4 = 0.,02020202\ldots_3 \tomapsto 0.,01010101_2 = 1/3</math>. Quindi <math>f(1/4)=1/3</math>.

* <math>1/5 = 0.,01210121\ldots_3</math>, al passo 2 diventa <math>0.,02000000\ldots</math>, quindi <math>0.,01000000\ldots_2 = 1/4</math>. Quindi <math>f(1/5)=1/4</math>.

=== Come limite di una successione ===

La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in <math>[0,1]</math>, costruite in questo modo:

*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;.

*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: 2<supmath>2^n</supmath> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)^n</math> e <math>2^n-1</math> lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza <math>\left(1\over frac{1}{3}\right)^n</math>. Per ogni <math>n \in \N</math> risultaintero non negativo risulta <math>f_n(0)=0</math>, e <math>f_n(1)=1</math>. In figura sono disegnate <math>f_0</math>, <math>f_1</math> e <math>f_2</math>.

[[File:Cantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Si può "costruire" la <math>(n+1)</math>-esima poligonale <math>f_{n+1}</math> come una trasformazione della <math>f_n</math>: infatti, dette <math>I_k^{(n)},</math> per <math>k=1, \ldots, 2^n,</math> e <math>J_k^{(n)},</math> per <math>k=1, \ldots, 2^n-1,</math> le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è <math>f(J_k^{(n)}) = {k/2^n}</math>), allora è <math>f_{n+1} = f_n</math> in <math>J_k^{(n)}\forall</math> per ogni <math>k</math>, mentre ogni lato obliquo di <math>f_n</math> (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo <math>I_k^{(n)}</math>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli <math>I_{2k-1}^{(n+1)}</math> e <math>I_{2k}^{(n+1)}</math>, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo <math>J_{2k-1}^{(n+1)}</math>.

Si può "costruire" la <math>n+1</math>-esima poligonale <math>f_{n+1}</math> come una trasformazione della <math>f_n</math>: infatti, detti p

<math>I_k^{(n)}, k=1, \ldots, 2^n</math> e <math>J_k^{(n)}, k=1, \ldots, 2^n-1</math> le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è <math>f(J_k^{(n)}) = {k/2^n}</math>), allora è <math>f_{n+1} = f_n</math> in <math>J_k^{(n)}\forall k</math>, mentre ogni lato obliquo di <math>f_n</math> (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo <math>I_k^{(n)}</math>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli <math>I_{2k-1}^{(n+1)}</math> e <math>I_{2k}^{(n+1)}</math>, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo <math>J_{2k-1}^{(n+1)}</math>.

Si può provaredimostrare che risulta:

:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\big\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.

:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\bigleft\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\bigright\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}.</math>.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in <math>[0, 1]</math>. Dunque per <math>n \mapsto \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in <math>[0, 1]</math>. Dunque per <math>n \mapstoto \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

== Proprietà ==

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math> in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di <math>[0,&nbsp;1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0.,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n022222..., 0.,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math>: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva (matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo [0,&nbsp;1] in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di [0,&nbsp;1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0.''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n022222..., 0.''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo

[0,&nbsp;1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva (matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.

== Voci correlate ==

* [[Insieme di Cantor]]

* [[Variabile casuale di Cantor]]