Varietà (geometria): differenze tra le versioni

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Versione delle 23:20, 6 dic 2024

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Lo spazio euclideo <math>\mathbb R^n</math> è, chiaramente, una <math>n</math>-varietà.

Se <math>g:\mathbb R^n \longrightarrow \mathbb R^m</math>, con <math>n\leq m</math>, è un [[omeomorfismo locale]] (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] <math>G</math> è una <math>n</math>-varietà. Infatti le carte locali di <math>G</math> sono le inverse locali di <math>g</math>, mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto <math>G</math> è un sottospazio di <math>\mathbb R^m</math>. Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.

[[File:Sphere with chart.svg|miniatura|181x181px|Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.]]

La [[sfera]] <math> n </math>-dimensionale

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Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la '''classificazione''' delle varietà topologiche. La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di [[Omeomorfismo|omeomorfismi]]. Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un'isometria (anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.

Osserviamo quindi che ogni <math>n</math>-varietà è [[Somma disgiunta|unione disgiunta]] delle proprie componenti connesse, che sono <math>n</math>-varietà a loro volta.

Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due varietà topologiche di dimensione <math>1</math>: la [[circonferenza]] <math>S^1</math> e la [[retta]] <math>\mathbb R</math>. Ogni altra curva connessa è infatti [[omeomorfismo|omeomorfa]] a una di queste due.

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=== Varietà proiettiva ===

{{vedi anche|Varietà proiettiva}}

Una '''varietà proiettiva''' è un sottoinsieme <math> V </math> dello [[spazio proiettivo]] <math> P^n(K) </math>, definito analogamente alla [[varietà affine]] come luogo di zeri di un insieme <math> S </math> di polinomi. L'unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno <math> n+1 </math> variabili, e poiché le [[coordinate omogenee]] di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere [[polinomio omogeneo|omogenei]] affinché le equazioni abbiano senso.

== Varietà riemanniana ==