Teoria della decisione: differenze tra le versioni

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I lavori di [[Maurice Allais]] e [[Daniel Ellsberg]] hanno dimostrato che il comportamento umano propone delle divergenze sistematiche e talvolta importanti dalla massimizzazione dell'utilità attesa. La [[teoria del prospetto]] di [[Daniel Kahneman]] e [[Amos Tversky]] ha quindi rinnovato lo studio empirico del comportamento economico, portando meno enfasi sui presupposti sulla razionalità. Kahneman e Tversky trovarono tre comportamenti che si ripropongono con regolarità: 1) nel processo decisionale umano empirico, "le perdite incombono più dei guadagni"; 2) le persone si concentrano maggiormente sui cambiamenti piuttosto di quanto non si concentrino sull'utilità assolute; 3) la stima della probabilità soggettive è fortemente distorta dall'effetto ancoraggio.

==== Formalizzazione di un problema di decisione in condizioni di incertezza ====

In un problema di decisione in condizioni di incertezza, si ha un soggetto, il ''decisore,'' che deve scegliere un elemento tra diversi di un insieme <math>\Delta</math>, detti ''decisioni.'' Dalla scelta di <math>\delta\in\Delta</math> deriva una conseguenza <math>\gamma_\delta(\omega)</math>. Notare che questa conseguenza non dipende soltanto da <math>\delta</math>, ma anche da una condizione non nota <math>\omega</math>, detta ''stato di natura;'' è tuttavia noto l'insieme dei suoi valori possibili <math>\Omega</math>.

Lo ''spazio delle conseguenze'' <math>\Gamma</math> varia al variare di <math>\delta</math> in <math>\Delta</math> e <math>\omega</math> in <math>\Omega</math>; questo non contiene necessariamente elementi numerici, ma si assume che tali elementi siano sempre ''confrontabili:'' dunque date due conseguenze qualsiasi <math>\gamma_1</math> e <math>\gamma_2</math> è sempre possibile stabilire quale è preferibile o se sono equivalenti.

A questo punto, è chiaro che l'obiettivo del decisore è scegliere la decisione che porta, secondo l'ordinamento di preferibilità stabilito, alla conseguenza migliore. Il problema fondamentale è che si deve minimizzare una funzione di due variabili <math>\delta</math> e <math>\omega</math> conoscendo soltanto i valori della prima.

Un esempio semplice di problema di decisione in condizioni di incertezza è il cosiddetto '''problema dell'ombrello,''' in cui il decisore ha a disposizione le decisioni <math>\delta_0</math>=''non portare l'ombrello uscendo di casa'' e <math>\delta_1</math>=''portarlo.'' Gli stati di natura sono <math>\omega_0</math>=''non piove'' e <math>\omega_1</math>=''piove.'' Le conseguenze, chiaramente, possono essere quattro: <math>\gamma_0(0)</math> è il caso più favorevole, <math>\gamma_1(0)</math> è il caso in cui si porta un peso inutile, <math>\gamma_0(1)</math> il caso in cui ci si bagna e <math>\gamma_1(1)</math> il caso in cui si è protetti dalla pioggia.

Dunque rispetto ai [[Problema di ottimizzazione|problemi di ottimizzazione]] deterministici, la scelta della variabile <math>\delta</math> non determina in modo univoco le conseguenze.

===== Probabilizzazione degli stati di natura =====

Se adottiamo un'impostazione [[Probabilità#Definizione soggettiva|soggettiva]] della probabilità, allora ne si può assegnare una a ogni evento incerto. Per farlo, si introduce uno [[spazio di probabilità]] <math>(\Omega,\mathcal{A}_\Omega,P)</math>, con <math>P</math> un'appropriata misura di probabilità e <math>\mathcal{A}_\Omega</math> una <math>\sigma</math>-algebra di <math>\Omega</math>. Questo non è necessariamente vero per un'impostazione [[Probabilità#Definizione frequentista|oggettiva]] della probabilità: in tal caso si distinguono problemi in condizioni di ''rischio,'' in cui la probabilizzazione avviene, e i problemi in condizioni di incertezza, in cui ciò non avviene.

===== Formalizzazione del concetto di decisione =====

Formalmente, una decisione può essere identificata con l'applicazione <math>C_\delta:\Omega\rightarrow\Gamma</math>. Questa definizione è conforme sia all'impostazione ''di Wald,'' che permette di escludere l'uso di misure di probabilità su <math>\Omega</math>, sia a un'impostazione ''bayesiana,'' dove le <math>C_\delta</math> sono definite su uno spazio di probabilità: in quest'ultimo caso, fissata <math>C_\delta</math>, si ha che <math>P</math> induce una misura di probabilità su <math>\Gamma</math>, ossia è ben definita per ogni sottoinsieme misurabile <math>G\subset\Gamma</math> la quantità <math>Q_\delta(G)=P(\omega:C_\delta(\omega)\in G)</math>.

Dunque, ogni decisione è un oggetto aleatorio che assume valori in <math>\Gamma</math> con probabilità <math>Q_\delta(G)</math>.

Spesso, per semplificare la concettualizzazione quando si ha a che fare con conseguenze di tipo numerico, si indica con <math>W_\delta:\Omega\rightarrow R^1</math> la ''funzione di perdita,'' e con <math>\mathcal{W}</math> l'insieme di tutte le funzioni di perdita in un dato problema.

=== Scelta intertemporale ===