Criterio di ottimalità: differenze tra le versioni

Versione delle 23:59, 19 feb 2025

Versione delle 00:12, 23 feb 2025

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<math>K_E(W_\delta)=E(W_\delta)=\int_\Omega W_\delta dP</math>

Tale criterio, poiché incorpora una misura di probabilità al suo interno, è detto [[Inferenza bayesiana|''bayesiano'']]''.'' Ovviamente deve valere, per applicare tale criterio, la condizione di regolarità che i valori attesi delle funzioni di perdita esistano.

Quando <math>P</math> è una misura di probabilità uniforme (ossia ogni stato di natura è equiprobabile), si parla anche di '''criterio di Bayes-Laplace,''' che può essere rappresentato come <math>K_{BL}(W_\delta)=\frac{1}{m}\sum^m_{i=1}W_\delta(\omega_i)</math> nel caso discreto e come <math>K_{BL}(W_\delta)=\frac{1}{mis(\Omega)}\int_\Omega W_\delta(\omega)d\omega</math> nel caso continuo.

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Ovviamente, per <math>\lambda=1</math> si torna al criterio del minimax.

== Monotonicità di un criterio ==

Sarebbe preferibile se un criterio di ottimalità fosse coerente col preordinamento naturale già indotto sullo spazio delle funzioni di perdita <math>\mathcal{W}</math>. A questo scopo si introduce per loro il concetto di ''monotonicità.'' In particolare, un criterio è detto ''(debolmente) monotono'' su <math>\mathcal{W}</math> se <math>W_{\delta_1}\le W_{\delta_2}</math> implica che <math>K(W_{\delta_1})\le K(W_{\delta_2})</math>, ossia se una funzione di perdita è sempre minore o uguale di un'altra, il criterio mantiene tale disuguaglianza.

Tale definizione può essere rafforzata in più modi. Si può dire che un criterio è ''strettamente monotono'' se <math>W_{\delta_1}\le W_{\delta_2}, W_{\delta_1}\neq W_{\delta_2}</math> implica che <math>K(W_{\delta_1})<K(W_{\delta_2})</math>, ossia il criterio per una funzione di perdita è strettamente minore dell'altro se questa è sempre minore o uguale dell'altra e le due funzioni di perdita non coincidono.

Poiché però questa definizione implica necessariamente che un comportamento peggiore di <math>W_{\delta_1}</math> rispetto a <math>W_{\delta_2}</math> debba portare a una minoranza stretta del criterio in <math>W_{\delta_1}</math> rispetto al criterio in <math>W_{\delta_2}</math>, un rafforzamento alternativo è la definizione di criterio <math>\mu</math>''-monotono,'' ossia un criterio, in termini intuitivi, che sia strettamente monotono a meno di insiemi trascurabili. Per definirlo, sia una misura <math>\mu</math> su <math>(\Omega, \mathcal{A}_\Omega) </math>; allora un criterio si dice <math>\mu</math>-monotono se, quando <math>W_{\delta_1}\le W_{\delta_2}</math> e l'insieme di stati di natura <math>\{\omega:W_{\delta_1}\neq W_{\delta_2}\}</math> ha misura non nulla, vale che <math>K(W_{\delta_1})<K(W_{\delta_2})</math>. La misura <math>\mu</math>, molto spesso, è semplicemente la [[misura di Lebesgue]].

Si può dimostrare che se <math>\Omega</math> è un intervallo di <math>\mathcal{R}^k</math> e tutte le funzioni di perdita sono continue in <math>\omega</math>, allora la <math>\mu</math>-monotonicità implica la monotonicità stretta purché la misura <math>\mu</math> su <math>(\Omega, \mathcal{A}_\Omega)</math> abbia supporto <math>\Omega</math>.

È importante notare che la monotonicità di un criterio è specifica per un certo spazio di funzioni di perdita <math>\mathcal{W}</math>: un criterio monotono su <math>\mathcal{W}_1</math> potrebbe non esserlo su <math>\mathcal{W}_2</math>. Per questo motivo, per studiare la monotonicità dei criteri, si assume spesso ''a priori'' che <math>\mathcal{W}</math> sia l'insieme di funzioni di perdita su cui il criterio è almeno formalmente applicabile.

== Bibliografia ==