Azione (fisica): differenze tra le versioni

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\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0</math>

Il membro sinistro è la [[derivata funzionale]] dell'azione rispetto a <math>\phi</math>.

In [[meccanica classica]] la Lagrangiana è data dalla somma tra l'[[energia cinetica]] <math>T</math> e il potenziale <math>V</math> o, analogamente, dalla differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale <math>U</math>. In [[coordinate lagrangiane]] è definita quindi nel seguente modo:

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== Azione relativistica ==

L'approccio hamiltoniano ha il vantaggio di essere facilmente esteso e generalizzato. Per essere [[invarianza di Lorentz|invariante]], l'azione deve dipendere da quantità invarianti. La più semplice di queste quantità è il [[tempo proprio]], indicato con <math> \tau </math>, ovvero il tempo misurato da un orologio in un [[sistema di riferimento]] solidale con la particella. In accordo con la [[relatività ristretta]] si ha che la quantità:

:<math> -(c \, \mathrm d \tau )^2 = - \mathrm ds^2 = -(c \, \mathrm dt)^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2, \ </math>

dove con <math> c </math> si è indicata la [[velocità della luce]] e con <math> \mathrm d \tau = - \mathrm ds / c </math> è la variazione infinitesima del tempo proprio. Per un [[punto materiale]] non soggetto a forze l'azione relativistica è data da<ref>L.D. Landau and E.M. Lifshitz ''The Classical Theory of Fields'' Addison-Wesley 1971 sec 8.p.24-25</ref>:

:

:<math>\mathcal S = -mc \int \mathrm ds = -mc^{2} \int \mathrm d \tau .</math>