Struttura di spin: differenze tra le versioni

Versione delle 18:00, 5 giu 2021

Versione delle 14:38, 16 mar 2025

Riga 3:

Le strutture di spin hanno ampie applicazioni in fisica matematica, in particolare nella [[teoria quantistica dei campi]] in cui sono un ingrediente essenziale nella definizione di qualsiasi teoria con fermioni privi di carica. Sono anche di interesse puramente matematico in geometria differenziale, [[topologia algebrica]] e [[K-teoria]]. Costituiscono le basi per la geometria di spin.

== Introduzione ==

In [[geometria differenziale]] e nella teoria dei campi, i matematici si chiedono se su una determinata varietà riemanniana orientata (''M'',''g'') sia possibile definire dei [[Campo spinoriale|campi spinoriali]]. Un metodo per affrontare questo problema è richiedere che ''M'' abbia una struttura di spin<ref>{{Cita pubblicazione|nome=A.|cognome=Haefliger|wkautore=André Haefliger|titolo=Sur l'extension du groupe structural d'un espace fibré |rivista=C. R. Acad. Sci. Paris||volume =243|pp=558–560558-560|numero=|anno=1956|lingua=fr}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=J.|cognome=Milnor|wkautore=John Milnor|titolo=Spin structures on manifolds|rivista=L'Enseignement Mathématique|volume =9|pp=198–203198-203|numero=|anno=1963|lingua=en}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=|nome=A.|cognome=Lichnerowicz|wkautore=André Lichnerowicz|autore2=|autore3=|anno=1964|titolo=Champs spinoriels et propagateurs en rélativité générale|rivista=Bull. Soc. Math. Fr.|volume=92|numero=|pp=11–10011-100|lingua=fr|doi=10.24033/bsmf.1604}}</ref>. Ciò non è sempre possibile poiché esiste potenzialmente una ostruzione topologica all'esistenza di strutture di spin. Le strutture di spin esistono se e solo se la seconda [[classe di Stiefel-Whitney]] ''w''₂(''M'') ∈ H²(''M'', '''Z'''₂) di ''M'' si annulla. Inoltre, se ''w''₂(''M'') = 0, allora sull'insieme delle classi di isomorfismo delle strutture di spin su ''M'' agisce liberamente e transitivamente H¹(''M'', '''Z'''₂). Poiché si presume che la varietà ''M'' sia orientata, anche la prima classe di Stiefel–Whitney ''w''₁(''M'') ∈ H¹(''M'', '''Z'''₂) di ''M'' risulta nulla. (Le classi di Stiefel–Whitney ''w_i''(''M'') ∈ H^''i''(''M'', '''Z'''₂) di una varietà differenziabile ''M'' sono definite come le classi Stiefel–Whitney del suo fibrato tangente ''TM''.)

Il fibrato spinoriale π_''S'': ''S'' → ''M'' su ''M'' è quindi definito come il [[fibrato vettoriale]] (complesso) associato al corrispondente [[fibrato principale]] π_'''P''': '''P''' → ''M'' dei riferimenti spinoriali su ''M'' attraverso una rappresentazione del suo gruppo di struttura Spin(''n'') sullo [[spinore|spazio di spinori]] Δ_''n''. Il fibrato ''S'' è detto fibrato di spinori per una data struttura di spin definita sulla varietà di base ''M''.

Una definizione precisa di struttura di spin su una varietà differenziabile fu resa possibile solo dopo l'introduzione della nozione di [[fibrato]]; [[André Haefliger]] (1956) scoprì per primo l'ostruzione topologica all'esistenza di una struttura di spin su una varietà riemanniana orientabile e [[Max Karoubi]] (1968) estese questo risultato al caso di una varietà pseudo-riemanniana non orientabile<ref>{{Cita pubblicazione|autore=|nome=M.|cognome=Karoubi|wkautore=Max Karoubi|autore2=|autore3=|anno=1968|titolo=Algèbres de Clifford et K-théorie|rivista=Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.|volume=1|numero=2|pp=161–270161-270|lingua=fr|doi=10.24033/asens.1163}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=H. R.|cognome=Alagia|nome2=C. U.|cognome2=Sánchez|titolo=Spin structures on pseudo-Riemannian manifolds|rivista=Revista de la Unión Matemática Argentina|volume =32|pp=64–7864-78|numero=|anno=1985|lingua=en|url = http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v32n1/p064-078.pdf|doi=}}</ref>.

==Struttura di spin su una varietà riemanniana==

Riga 37:

* {{cita libro|titolo = Spin Geometry |nome=H. Blaine |cognome= Lawson |nome2=Marie-Louise | cognome2 = Michelsohn|editore= Princeton University Press | anno = 1989|lingua=inglese |isbn=978-0-691-08542-5}}

* {{cita libro|titolo=Dirac Operators in Riemannian Geometry|nome=Thomas|cognome= Friedrich |editore= American Mathematical Society|anno=2000|lingua=inglese|isbn=978-0-8218-2055-1}}

* {{cita libro|titolo=K-Theory|nome=Max|cognome= Karoubi|wkautore=Max Karoubi|editore=Springer|anno=2008|lingua=inglese|pp=212–214212-214|isbn=978-3-540-79889-7}}

* {{cita libro|titolo=Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics II |nome=Werner|cognome=Greub|nome2=Herbert-Rainer|cognome2=Petry|wkautore=Werner H. Greub|capitolo=On the lifting of structure groups |trasmissione=Lecture Notes in Mathematics|editore=Springer|anno=1978|lingua=inglese|pp=217–246217-246|url= https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0063673|isbn=9783540357216 }}

== Voci correlate ==