Numerosità: differenze tra le versioni

Versione delle 16:27, 19 mar 2025

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è un concetto che sviluppa la nozione di [[cardinalità]] di Cantor. Mentre la cardinalità classica di Cantor classifica gli insiemi in base all’esistenza di una [[corrispondenza biunivoca]] con altri insiemi (definendo per esempio <math>\aleph_0</math> per i numerabili, <math>\aleph_1</math> e così via per gli infiniti di maggior “taglia”), l’idea di numerosità mira a fornire un punto di vista diverso, collegandosi alla V nozione comune di Euclide "L'intero è maggiore della parte". Tutto cio' porta in modo naturale ai numeri ipernaturali.<ref>{{Cita web|lingua=en|url=https://plato.stanford.edu/entrieS/infinity/numerosities.html|titolo=Infinity | Theories of Numerosities (Stanford Encyclopedia of Philosophy)|sito=plato.stanford.edu|accesso=2025-01-15}}</ref>

In breve, Benci e i suoi collaboratori propongono di associare a un insieme infinito un valore numerico che rispecchi la sua “quantità di elementi” in modo più diretto, senza fare ricorso unicamente alle corrispondenze biunivoche <ref name="Benci1">Benci, V.; Di Nasso, M.; Forti, M. (2006). "An Aristotelian notion of size". ''Annals of Pure and Applied Logic'' 143:1–3, 43–53</ref><ref name="Benci2">Benci, V.; Di Nasso, M. (2003). "Alpha-theory: an elementary axiomatic for nonstandard analysis". ''Expositiones Mathematicae'' 21: 355–386</ref><ref name="Benci3">Benci, V.; Di Nasso, M. (2019). "How to measure the infinite", World Scientific, Hackensack, NJ</ref>. Questo approccio utilizza strumenti di logica e analisi, cercando di dare un significato operativo alla nozione di “contare” anche quando si hanno insiemi infiniti. La numerosità si rivela così utile per lo studio di alcuni problemi di matematica discreta ed è oggetto di ricerche nell’ambito delle teorie alternative (o complementari) alla cardinalità cantoriana tradizionale.

== Principali assiomi ==

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* Una mappa suriettiva <math>\mathrm{num}</math> che associa a ogni insieme il suo valore di numerosità, obbedendo a quattro principi fondamentali:

# '''Principio dell'Unioneunione''' (principio di unione): se <math>\mathrm{num}(A)=\mathrm{num}(A')</math> e <math>\mathrm{num}(B)=\mathrm{num}(B')</math> e i domini di <math>A</math> e <math>B</math> (così come di <math>A'</math> e <math>B'</math>) sono disgiunti, allora <math>\mathrm{num}(A \sqcup B)=\mathrm{num}(A' \sqcup B')</math>.

# '''Principio del Prodottoprodotto Cartesiano''': se <math>\mathrm{num}(A)=\mathrm{num}(A')</math> e <math>\mathrm{num}(B)=\mathrm{num}(B')</math>, allora <math>\mathrm{num}(A \times B)=\mathrm{num}(A' \times B')</math>.

# '''Principio di Zermelo''': se <math>\mathrm{num}(A) < \mathrm{num}(B)</math>, allora esiste un sottoinsieme proprio <math>A' \subset B</math> con <math>\mathrm{num}(A') = \mathrm{num}(A)</math>.

# '''Principio Asintoticoasintotico''': se per tutti <math>n</math> la funzione di conteggio di <math>A</math> è minore o uguale a quella di <math>B</math>, allora <math>\mathrm{num}(A) \le \mathrm{num}(B)</math>.

Da questi principi discendono diverse proprietà, tra cui la definizione di “somma di numerosità” (come l’unione disgiunta di insiemi) e di “prodotto di numerosità” (come prodotto cartesiano).

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Un classico esempio è l’insieme dei numeri naturali <math>\mathbb{N}</math>, che in questo approccio viene associato a un “numero infinito” spesso indicato con <math>\alpha</math>. In particolare:

:<math>\mathrm{num}(\mathbb{N}) = \alpha.</math>;

Se si considera ora l’insieme dei numeri pari, nella teoria di Cantor quest’insieme è equipotente a <math>\mathbb{N}</math>, ma nella numerosità di Benci e collaboratori esso ha valore <math>\alpha/2</math>, in modo che risulti “la metà” dei naturali (e si conserva il principio: l’insieme dei pari è sottoinsieme proprio di <math>\mathbb{N}</math>, quindi deve avere numerosità minore).

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== Collegamento con l'analisi non-standard ==

Le idee alla base della numerosità si collegano anche all’[[Analisianalisi non standard]] di Robinson: si ottengono sistemi numerici che includono infiniti e infinitesimi “coerenti” con operazioni di somma e prodotto. L’infinito <math>\alpha</math> che esprime la numerosità di <math>\mathbb{N}</math> può essere trattato come un elemento non-standard, successivo a tutti i numeri finiti, permettendo dimostrazioni e metodi tipici dell’analisi non-Archimedea.

== Applicazioni e ricerche in corso ==