Struttura di spin: differenze tra le versioni

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Le strutture di spin hanno ampie applicazioni in fisica matematica, in particolare nella [[teoria quantistica dei campi]] in cui sono un ingrediente essenziale nella definizione di qualsiasi teoria con fermioni privi di carica. Sono anche di interesse puramente matematico in geometria differenziale, [[topologia algebrica]] e [[K-teoria]]. Costituiscono le basi per la geometria di spin.

== Introduzione ==

In [[geometria differenziale]] e nella teoria dei campi, i matematici si chiedono se su una determinata varietà riemanniana orientata (''M'',''g'') sia possibile definire dei [[Campo spinoriale|campi spinoriali]]. Un metodo per affrontare questo problema è richiedere che ''M'' abbia una struttura di spin<ref>{{Cita pubblicazione|nome=A.|cognome=Haefliger|wkautore=André Haefliger|titolo=Sur l'extension du groupe structural d'un espace fibré |rivista=C. R. Acad. Sci. Paris||volume =243|pp=558-560|numero=|anno=1956|lingua=fr}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=J.|cognome=Milnor|wkautore=John Milnor|titolo=Spin structures on manifolds|rivista=L'Enseignement Mathématique|volume =9|pp=198-203|numero=|anno=1963|lingua=en}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|autore=|nome=A.|cognome=Lichnerowicz|wkautore=André Lichnerowicz|autore2=|autore3=|anno=1964|titolo=Champs spinoriels et propagateurs en rélativité générale|rivista=Bull. Soc. Math. Fr.|volume=92|numero=|pp=11-100|lingua=fr|doi=10.24033/bsmf.1604}}</ref>. Ciò non è sempre possibile poiché esiste potenzialmente una ostruzione topologica all'esistenza di strutture di spin. Le strutture di spin esistono [[se e solo se]] la seconda [[classe di Stiefel-Whitney]] ''w''₂(''M'') ∈ H²(''M'', '''Z'''₂) di ''M'' si annulla. Inoltre, se ''w''₂(''M'') = 0, allora sull'insieme delle classi di isomorfismo delle strutture di spin su ''M'' agisce liberamente e transitivamente H¹(''M'', '''Z'''₂). Poiché si presume che la varietà ''M'' sia orientata, anche la prima classe di Stiefel–Whitney ''w''₁(''M'') ∈ H¹(''M'', '''Z'''₂) di ''M'' risulta nulla. (Le classi di Stiefel–Whitney ''w_i''(''M'') ∈ H^''i''(''M'', '''Z'''₂) di una varietà differenziabile ''M'' sono definite come le classi Stiefel–Whitney del suo fibrato tangente ''TM''.)

Il fibrato spinoriale π_''S'': ''S'' → ''M'' su ''M'' è quindi definito come il [[fibrato vettoriale]] (complesso) associato al corrispondente [[fibrato principale]] π_'''P''': '''P''' → ''M'' dei riferimenti spinoriali su ''M'' attraverso una rappresentazione del suo gruppo di struttura Spin(''n'') sullo [[spinore|spazio di spinori]] Δ_''n''. Il fibrato ''S'' è detto fibrato di spinori per una data struttura di spin definita sulla varietà di base ''M''.

Una definizione precisa di struttura di spin su una [[varietà differenziabile]] fu resa possibile solo dopo l'introduzione della nozione di [[fibrato]]; [[André Haefliger]] (1956) scoprì per primo l'ostruzione topologica all'esistenza di una struttura di spin su una varietà riemanniana orientabile e [[Max Karoubi]] (1968) estese questo risultato al caso di una [[varietà pseudo-riemanniana]] non orientabile<ref>{{Cita pubblicazione|autore=|nome=M.|cognome=Karoubi|wkautore=Max Karoubi|autore2=|autore3=|anno=1968|titolo=Algèbres de Clifford et K-théorie|rivista=Ann. Sci. Éc. Norm. Supér.|volume=1|numero=2|pp=161-270|lingua=fr|doi=10.24033/asens.1163}}</ref><ref>{{Cita pubblicazione|nome=H. R.|cognome=Alagia|nome2=C. U.|cognome2=Sánchez|titolo=Spin structures on pseudo-Riemannian manifolds|rivista=Revista de la Unión Matemática Argentina|volume =32|pp=64-78|numero=|anno=1985|lingua=en|url = http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v32n1/p064-078.pdf|doi=}}</ref>.

==Struttura di spin su una varietà riemanniana==