Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

Versione delle 15:52, 5 mar 2025

Versione delle 15:27, 23 apr 2025

Riga 32:

Qualsiasi sia lo spazio vettoriale <math>V</math>, è sempre possibile trovarne una base. La dimostrazione richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale, mentre nel caso particolare degli spazi finitamente generati esistono dimostrazioni più semplici.

==== Dimostrazione ====

Si consideri la collezione <math>I(V)</math> dei sottoinsiemi di <math>V</math> linearmente indipendenti. È immediato dedurre che l'[[Inclusione (matematica)|inclusione]] è un [[ordine parziale]] su <math>I(V)</math>, e che per ogni [[catena (matematica)|catena]] <math>\{ B_i \}</math> l'insieme <math>\bigcup_i B_i</math> ne è un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il [[lemma di Zorn]], esiste un insieme massimale linearmente indipendente <math>B</math> in <math>I(V)</math>. Dunque <math>B</math> è una base, infatti se <math>v \in V</math> ma non appartiene a <math>B</math> allora per la massimalità di <math>B</math> l'insieme <math>B \cup \{ \mathbf v \}</math> deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari <math>a_1 , a_2 \dots a_n</math> non tutti nulli tali che

Si proverà che ogni [[spazio vettoriale]] ha una [[Base vettoriale|base]], cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale [[Linearmente indipendenti|linearmente indipendente]]. Sia <math>V</math> uno spazio vettoriale su un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, <math>\{ v_0,v_1,v_2,\dots,v_n \} \subseteq V</math> è linearmente indipendente se <math>a_0v_0+a_1v_1+\dots+a_nv_n=0 \iff a_i=0, \forall i=0,1,\dots,n</math>, con <math>a_i \in \mathbb{K}, \forall i=0,1,\dots,n</math>. Se si considera <math>U \subseteq V</math>, non necessariamente [[Insieme finito|finito]], <math>U</math> è linearmente indipendente se ogni [[sottoinsieme]] finito di <math>U</math> è linearmente indipendente.

Si proverà che per ogni <math>U \subseteq V</math>, <math>U</math> è linearmente indipendente, esiste un insieme <math>U \subseteq W \subseteq V</math> tale che <math>W</math> è linearmente indipendente [[massimale]]. Innanzitutto, in ogni spazio vettoriale, l'[[insieme vuoto]] è linearmente indipendente, ciò scende banalmente dal fatto che una [[somma vuota]] è nulla. Si consideri il seguente insieme<math>F=\{ W \subseteq V| U \subseteq W \, \textrm{e} \, W \, \grave{\textrm{e}} \, \textrm{linearmente} \, \textrm{indipendente} \}</math>. Si consideri <math>(F,\subset)

:<math>a \mathbf{v} + \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = 0 \qquad \mathbf{w}_i \in B</math>

</math> , il quale è un [[ordine parziale]]. Si proverà, ora, che <math>(F,\subset)

</math> soddisfa le ipotesi del [[lemma di Zorn]]. Si osservi che <math>F

</math> è un insieme non vuoto, in quanto <math>U \in F

</math> e <math>U</math> è linearmente indipendente (per ipotesi). Si proverà, adesso, che <math>\subset

</math> è [[Insieme induttivo (teoria degli ordini)|induttiva]] su <math>F

</math>. Sia <math>G \subseteq F</math> una catena in <math>F

</math>. Si proverà che <math>\cup G</math> è un [[Maggiorante e minorante|maggiorante]] di <math>G</math> in <math>F

</math>. Si supponga, per assurdo, che <math>\cup G</math> non sia linearmente indipendente, ovvero esistono <math>n \in \mathbb{N}</math> e <math>v_1,v_2,\dots,v_n \in \cup G</math>, e <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in F</math> non tutti nulli tali che <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i=0</math>. Dato che <math>v_1,v_2,\dots,v_n \in \cup G</math>, allora <math>v_i \in U_i, \forall i=1,2,\dots,n</math>. Sia <math>U^*=\max \{U_1,U_2,\dots,U_n\}</math>, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora <math>U^* \in G</math>, e inoltre <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\} \subseteq U^*</math>. Dunque, per quanto detto sopra, <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i=0</math>, segue che <math>U^*</math> non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che <math>U \in F</math>. Di conseguenza, <math>U^*</math> deve essere linearmente indipendente, [[A fortiori ratione|a fortiori]], <math>\cup G</math> è linearmente indipendente.

Dunque <math>(F,\subset)

con <math>a \ne 0</math>, dal momento che se fosse nulla allora anche gli altri <math>a_i</math> dovrebbero esserlo, essendo gli elementi di <math>B</math> linearmente indipendenti. Quindi <math>\mathbf v</math> può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di <math>B</math>, che oltre a essere linearmente indipendenti generano <math>V</math>. Dunque <math>B</math> è una base.

</math> soddisfa le condizioni del [[lemma di Zorn]]. Quindi, in <math>F

</math>, esistono [[Elemento massimale|elementi massimalei]] che estendono l'insieme <math>U</math>. Ognuno di essi è una base di <math>V</math> che estende <math>U</math> stesso. In particolare, essendo l'insieme vuoto linearmente indipendente, si conclude che esiste una base in ogni spazio vettoriale.

==Coordinate rispetto ad una base==