Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

Versione delle 15:27, 23 apr 2025

Versione delle 15:34, 23 apr 2025

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=== Dimostrazione ===

Si proverà che ogni [[spazio vettoriale]] ha una [[Base vettoriale|base]], cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale [[Linearmente indipendenti|linearmente indipendente]]. Sia <math>V</math> uno spazio vettoriale su un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, <math>\{ v_0\mathbf{v}_1,v_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n \} \subseteq V</math> è linearmente indipendente se <math>a_0v_0a_1\mathbf{v}_1+a_1v_1a_2\mathbf{v}_2+\dots+a_nv_na_n\mathbf{v}_n=0 \iff a_i=0, \forall i=0,1,\dots,n</math>, con <math>a_i \in \mathbb{K}, \forall i=0,1,\dots,n</math>. Se si considera <math>U \subseteq V</math>, non necessariamente [[Insieme finito|finito]], <math>U</math> è linearmente indipendente se ogni [[sottoinsieme]] finito di <math>U</math> è linearmente indipendente.

Si proverà che per ogni <math>U \subseteq V</math>, <math>U</math> è linearmente indipendente, esiste un insieme <math>U \subseteq W \subseteq V</math> tale che <math>W</math> è linearmente indipendente [[massimale]]. Innanzitutto, in ogni spazio vettoriale, l'[[insieme vuoto]] è linearmente indipendente, ciò scende banalmente dal fatto che una [[somma vuota]] è nulla. Si consideri il seguente insieme<math>F=\{ W \subseteq V| U \subseteq W \, \textrm{e} \, W \, \grave{\textrm{e}} \, \textrm{linearmente} \, \textrm{indipendente} \}</math>. Si consideri <math>(F,\subset)

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</math>. Sia <math>G \subseteq F</math> una catena in <math>F

</math>. Si proverà che <math>\cup G</math> è un [[Maggiorante e minorante|maggiorante]] di <math>G</math> in <math>F

</math>. Si supponga, per assurdo, che <math>\cup G</math> non sia linearmente indipendente, ovvero esistono <math>n \in \mathbb{N}</math> e <math>v_1\mathbf{v}_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, e <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in F</math> non tutti nulli tali che <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\mathbf{v}_i=0</math>. Dato che <math>v_1\mathbf{v}_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, allora <math>v_i\mathbf{v}_i \in U_i, \forall i=1,2,\dots,n</math>. Sia <math>U^*=\max \{U_1,U_2,\dots,U_n\}</math>, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora <math>U^* \in G</math>, e inoltre <math>\{v_1\mathbf{v}_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n\} \subseteq U^*</math>. Dunque, per quanto detto sopra, <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\mathbf{v}_i=0</math>, segue che <math>U^*</math> non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che <math>U \in F</math>. Di conseguenza, <math>U^*</math> deve essere linearmente indipendente, [[A fortiori ratione|a fortiori]], <math>\cup G</math> è linearmente indipendente.

Dunque <math>(F,\subset)