Derivata materiale: differenze tra le versioni
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La '''derivata materiale''', anche detta '''derivata''' '''sostanziale''', '''derivata lagrangiana''' o '''derivata''' '''convettiva''', è un [[operatore differenziale]] ottenuto attraverso l'applicazione di un opportuno cambio di [[Coordinate generalizzate|coordinate]] alla [[derivata totale]].
Nell'ambito della [[meccanica del continuo]], viene usata per descrivere il tasso di variazione di una qualche [[Grandezza fisica|quantità fisica]] associata ad un elemento di materia soggetto ad un [[campo vettoriale]] dipendente da spazio e tempo. La derivata materiale può essere vista come un collegamento tra la [[Coordinate euleriane e lagrangiane|descrizioni euleriana e lagrangiana]] di una deformazione continua, e viene spesso utilizzata nello studio dei [[fenomeni di trasporto]].
==Definizione==
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== Intuizione ==
La derivata materiale si può definire in maniera intuitiva come il tasso di crescita di un campo scalare <math>\varphi (\mathbf r, t)</math> (nell'esempio di un fluido può essere la pressione, la [[temperatura]],...) visto una da una particella in movimento secondo un campo di velocità <math>\mathbf u (\mathbf r, t)</math>. La particella in movimento osserva una variazione del campo nei due casi:
* Il campo varia nel tempo, <math>\frac{\partial}{\partial t} \varphi (\mathbf r, t)</math>
* La particella si muove nello spazio, attraversando regioni con valori di campo diversi. L'intensità del tasso di crescita è quindi tanto più elevata quanto più la particella si muove con velocità maggiore, e quanto più il campo <math> \varphi (\mathbf r, t)</math> è disomogeneo lungo la traiettoria della particella. Questo secondo termine è detto termine convettivo, e si esprime come <math> \mathbf{u}\cdot\nabla \varphi</math>, è il [[prodotto scalare]] del gradiente del campo (ovvero il vettore con direzione la direzione di maggior crescita del campo) ed il campo di velocità. Se la particella si muove con campo di velocità perpendicolare al gradiente, ovvero lungo una curva in cui il campo è uniforme, il termine convettivo è nullo.
La derivata materiale è dunque pari alla somma dei due contributi.
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