Gradiente: differenze tra le versioni

Versione delle 23:26, 7 giu 2025

Versione delle 09:58, 9 giu 2025

Riga 98:

Scrivendo i vettori della base cartesiana come:

:<math>\mathbf{e}_{x} = \cos\phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \frac{\sin\phi}{\rho} \, \mathbf{e}_{\phi}</math>

:<math>\mathbf{e}_{y} = \sin\phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{\cos\phi}{\rho} \, \mathbf{e}_{\phi}</math>

e sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente si ha:

:<math>\begin{align}

\nabla f(\rho;\phi) = &\left( \cos\phi \frac{\partial f}{\partial \rho} - \frac{\sin\phi}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi} \right) \left( \cos\phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \frac{\sin\phi}{\rho} \, \mathbf{e}_{\phi} \right) +\\

&+ \left( \sin\phi \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos\phi}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi}\right) \left( \sin\phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{\cos\phi}{\rho} \, \mathbf{e}_{\phi} \right).

\end{align}</math>

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

:<math>\nabla f(\rho,\phi) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}.</math>

===Coordinate sferiche===

Riga 124:

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

:<math>\nabla f(\rho,\theta,\phi) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial f}{\partial \theta} \, \mathbf{e}_{\theta} + \frac{1}{\rho^2{\sin^2}\theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}.</math>

===Gradiente in coordinate cilindriche===