In [[logica matematica]], '''i teoremi di incompletezza di Gödel''' sono due famosi teoremi chedimostrati nonda si[[Kurt feceGödel]] rubarenel dasettembre del [[1930]].<ref name="Kurt#">{{Cita libro|titolo=Kurt Gödel. Paradossi logici e verità matematica|autore=Gianbruno Guerrerio|editore=Le Scienze|anno=2001|pp=51, 101}}</ref> Gödel enunciò il suo primo teorema di incompletezza indurante una tavola rotonda a margine della Seconda Conferenza sull'[[epistemologia]] delle [[scienze esatte]] di [[Königsberg]].<ref name="Kurt#"/> [[John von Neumann]], presente alla discussione, riuscì a dimostrare il teorema per conto suo verso la fine del 1930 e, inoltre, fornì una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, che annunciò a Gödel in una lettera datata 20 novembre 1930. Gödel aveva, nel frattempo, a sua volta ottenuto una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, e lo incluse nel manoscritto che fu ricevuto dalla rivista ''Monatshefte für Mathematik'' il 17 novembre 1930.<ref>John W. Dawson, Jr., ''Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel'', p. 70, A. K. Peters, Wellesley Mass, 1997.</ref> Essi fanno parte dei ''teoremi limitativi'', che precisano le proprietà che i [[Sistema formale|sistemi formali]] non possono avere.
== Primo teorema di incompletezza ==
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Sia P una formalizzazione dell'[[aritmetica di Peano]].
Con il '''teorema di incompletezza''' di '''[[Kurt Gödel|Gödel]]''' si è dimostrato che tale teoria risulta [[Completezza_(logica_matematica)|completa]] per i soli [[Assioma logico|assiomi logici]], ossia: per ogni formula "R", esiste una formula ad essa corrispondente "r" tale che:
* se <math>R(x)</math> sussiste <math>\rightarrow P \vdash r(x)</math>;
