Base (algebra lineare): differenze tra le versioni
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</math>. Sia <math>G \subseteq F</math> una catena in <math>F
</math>. Si proverà che <math>\cup G</math> è un [[Maggiorante e minorante|maggiorante]] di <math>G</math> in <math>F
</math>. Si supponga, per assurdo, che <math>\cup G</math> non sia linearmente indipendente, ovvero esistono <math>n \in \mathbb{N}</math> e <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, e <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in F</math> non tutti nulli tali che <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i=0</math>. Dato che <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, allora <math>\mathbf{v}_i \in U_i, \forall i=1,2,\dots,n</math>. Sia <math>U^*=\max \{U_1,U_2,\dots,U_n\}</math>, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora <math>U^* \in G</math>, e inoltre <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\} \subseteq U^*</math>. Dunque, per quanto detto sopra, <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i=0</math>, segue che <math>U^*</math> non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che <math>U \in F</math>. Di conseguenza, <math>U^*</math> deve essere linearmente indipendente, [[A fortiori ratione|a fortiori]], <math>\cup G</math> è linearmente indipendente.
Dunque <math>(F,\subset)
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L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata nemmeno aggiungendo l'ipotesi (peraltro necessaria) che si tratti di uno [[spazio separabile]]: un [[controesempio]] è stato fornito nel 1973 da [[Per Enflo]]. Un teorema di [[Stanisław Mazur]] mostra che in ogni spazio di Banach (a dimensione infinita) esiste sempre un sottospazio di dimensione infinita che possiede una base di Schauder.
L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi {{
=== Cardinalità ===
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