Prodotto tensoriale: differenze tra le versioni

Versione delle 11:16, 25 giu 2025

Versione attuale delle 11:38, 25 giu 2025

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:<math>(v, \alpha w_1 + \beta w_1)-\alpha (v, w_1)-\beta(v,w_2).</math>

Mandando a zero i vettori di <math>K</math>, cioè passando al quoziente <math>F/K</math>, la proiezione dopo l'immersione diventa bilineare. La coppia <math>(F/K, \pi \circ i)</math>, dove <math>\pi</math> è la proiezione canonica ed <math>i</math> l'immersione di <math>V \times W</math> in <math>F</math>, soddisfa le richieste ed è un prodotto tensoriale di <math>V</math> e <math>W</math>. La situazione può essere riassunta dal [[diagramma commutativo]]
[[File:TesnsorProductConstruction.png|center]]
La dimostrazione è immediata, infatti <math>V \times W</math> è una base di <math>F</math> quindi esiste un'unica estensione lineare <math>s</math> di <math>\rho</math> su <math>F</math>, e visto che il nucleo di <math>s</math> contiene <math>K</math> (perché <math>\rho</math> è bilineare) la proprietà caratteristica della proiezione nello spazio quoziente ci dà l'unica applicazione lineare <math>f</math> per cui <math>s=f \circ \pi</math>, cioè esiste un'unica <math>f</math> tale che (chiamando <math>\otimes</math> la funzione <math>\pi \circ i</math>)

:<math>\rho(v,w)=s \circ i(v,w)=f \circ \pi \circ i(v,w)=f(v \otimes w).</math>