Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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m non lineare ma affine |
→Definizione: +collegamento con l'idea intuitiva |
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La [[matrice (matematica)|matrice]] che rappresenta <math>DF(\mathbf x_0)</math> viene chiamata [[matrice jacobiana]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.
=== Osservazioni ===
Abbiamo detto che una funzione differenziabile intuitivamente dovrebbe essere tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. Tuttavia ciò non sembra evidente dalla definizione che abbiamo dato. Vediamo come sia possibile formalizzare quest'idea intuitiva e dimostrare che coincide (se ci si lavora un po') con la definizione di differenziabilità.
Possiamo immaginare ora che la [[trasformazione affine]] con cui potremmo approssimare <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione
:<math>\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+DF(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0)</math>.
Consideriamo un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.
Quando ingrandiamo il grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math> la distanza che vediamo tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è pari a
:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>
dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è
:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta</math>,
ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione che abbiamo dato per la differeziabilità di <math>F</math> si deduce che
:<math>\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0</math>,
il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.
==Differenziabilità e continuità==
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