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La IUT è nota per la sua enorme difficoltà e vastità; entrambe pongono anche a molti matematici esperti degli ostacoli, per cui è difficile discutere la IUT e i suoi punti di forza (e.g., le idee che contiene e i suoi sviluppi) e di controversia (e.g., la correttezza del corollario 3.12).

Alcuni matematici, come Go Yamashita, hanno pubblicato delle spiegazioni semplificate della IUT; in particolare, lo stesso Yamashita ha condensato in 400 pagine i punti fondamentali della geometria mono-anabeliana assoluta e della IUT proprio per capire la IUT. Se si esclude la bibliografia e gli indici, sono 379 pagine.

Lo stesso Mochizuki ha indicato quali dei suoi articoli sono necessari per capire specificatamente la geometria mono-anabeliana assoluta dietro alla serie di 4 paper della IUT avendo già chiare le basi di [[geometria anabeliana]] classica (la quale a sua volta si studia nei [[Dottorato di ricerca|dottorati di ricerca]]); tuttavia, il gruppo di articoli che introduce la geometria mono-anabeliana assoluta (grossomodo un argomento da post-dottorato di ricerca) è molto lungo. La lunghezza di ogni paper citato da Mochizuki in formato PDF, esclusa la bibliografia e gli indici, è:

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Pertanto, gli articoli di geometria mono-anabeliana assoluta che lo stesso Mochizuki indica come preliminari alla IUT e affrontabili in un dottorato di ricerca, senza la bibliografia ammontano a 940 pagine PDF in formato A4.

Dall'introduzione compatta di 400379 pagine di Go Yamashita, che rappresenta un tentativo di compattare 940 pagine di geometria mono-anabeliana assoluta propedeutica insieme a 637 pagine di IUT (dunque 1577 pagine ridotte al 24% circa), sono ripescabili molti argomenti di matematica avanzata propedeutici alla IUT (e.g., perché usati nella teoria o nelle dimostrazioni e discussioni di risultati). Tali argomenti sono in parte citati da Yamashita e in parte ricavabili dalle spiegazioni, dimostrazioni e discussioni dei risultati.

Due concetti di partenza sono le curve ellittiche e le curve iperboliche, entrambe su campi numerici; della curve iperbolica viene anche calcolato il genere (e.g., genere 0).

Gli argomenti di matematica avanzata (tipicamente universitaria o perapplicata PhDa livello di dottorato e post-dottorato) ripescabili dalle prime 127 pagine su 379 con una classifica per branca sono:

* [[Teoria dei campi (matematica)|teoria dei campi]]: campi numerici (''Number Fields'', NF), i campi locali non-archimedei, campi di moduli, campi sub ''p''-adici, campi topologici.

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* [[Teoria dei gruppi]]: [[Gruppo Heisenberg|gruppi Heisenberg]], il [[gruppo topologico]] Hausdorff "G", i [[Sottogruppo|sottogruppi]] (inclusi i sottogruppi di Sylow e i sottogruppi aperti), [[monoide]] e monoide topologico commutativo, [[pseudo-monoide]], monoide scisso (''split monoid'') associato a un campo topologico e [[Gruppo profinito|gruppi profiniti]]. Da una peculiare versione della teoria dei gruppi, la [[teoria dei gruppi geometrica]], provengono le proprietà dei sottogruppi ("commensurabilmente terminale, relativamente snello, snello, temperato-snello"). [[Gruppo di Lie|Gruppi di Lie]] e [[teorema di Cartan]] (specificatamente, il teorema del sottogruppo chiuso, che riguarda proprio i gruppi di Lie). Gruppi fondamentali temperati (che riguardano le varietà ''p''-adiche), per esempio per spazi su campi non-archimedei; essi sono correlati alla copertura temperata (''tempered covering''). [[Gruppo di decomposizione|Gruppi di decomposizione]], elementi coniugati (''conjugates''). [[Classe laterale]] (''coset'') e relativa decomposizione. Sottogruppo inerzia (fa parte in particolare della teoria della ramificazione), e.g., sottogruppi di inerzia di una cuspide. Sottogruppi di inerzia coniugati. Gruppi profiniti liberi. Sottogruppo verticale. Indice di ramificazione, sottogruppo compatto.

* [[Teoria degli anelli]]: gli anelli sono fissati sui punti di ''l''-torsione della curva ''X_F'' (vedi IUTch I, introduzione) e su un lato dei theta-link. Il punto di [[Torsione (teoria degli anelli)|torsione]] è a sua volta un contenuto appartenente alla teoria degli anelli. Tali strutture ad anello sono però dette "aliene" siccome non si trovano in un contesto di geometria aritmetica tradizionale. La nozione di [[multiradialità]] (l'opposto dell'[[uniradialità]]) permette di osservare gli anelli sull'altro lato dei theta-link nonostante le piccole indeterminazioni/perdite di informazioni/distorsioni/deformazioni nella IUT (nel momento in cui il gruppo di simmetria additiva e moltiplicativa sono distaccati per svolgere calcoli paralleli in due universi/ambienti/teatri di Hodge diversi).

* [[Analisi complessa multivariata]]: [[involucro olomorfico]], detto anche "involucro di olomorfia" (''holomorphic hull'', ''evelope of holomorphy'') di un sottoinsieme A.

* Algebra astratta in generale: [[teoria di Kummer]] (a cui si collega direttamente la mappa di Kummer), [[successione di Chaucy]] di punti-NF (''Cauchy sequence of NF-points'').

* La IUT si basa anche sulla [[Funzione theta (geometria anabeliana)|funzione theta]] in geometria anabeliana, una funzione piena di proprietà di simmetria che ha una versione étale (“immobile”). La teoria intorno alla funzione theta étale si focalizza sullo stabilimento di proprietà di rigidità degli [[Ambiente mono-theta|ambienti mono-theta]]. In tale gruppo di osservazioni, l’applicazione della cuspidalizzazione ellittica mostra la rigidità multipla costante di tale ambiente. Inoltre, la struttura precisamente quadratica di un gruppo Heisenberg mostra la [[rigidità ciclotomica]] di tale ambiente. Se si applica la struttura al massimo quadratica di un gruppo Heisenberg, si mostra anche la rigidità discreta di tale ambiente. La funzione theta serve a contenere i valori theta (che agiscono sui gusci logaritmici). Dato il concetto di [[coricità]] (''coricity''), la funzione theta contiene i valori theta nella sua versione ''k''-corica (usata per stabilire l’algoritmo multiradiale e performare il distacco di Kummer multiradiale). In generale, i monoidi generati dalle funzioni theta sono detti "[[Monoide theta|monoidi theta]]"; tali monoidi si possono scindere con le scissioni canoniche (''canonical splittings'').

* La [[rigidità ciclotomica]] degli [[Ambiente mono-theta|ambienti mono-theta]] permette di usare la teoria di Kummer in modo multiradiale (per eseguire il distacco di Kummer multiradiale) per la funzione theta. Di contro, la versione più classica della rigidità ciclotomica (cioè quella che viene dedotta dalla teoria dei campi di classe locali per estensioni localmente finite, ''Local Class Field Theory for Maximal Locally Finite extension of a local field'', in sigla ''LCFT for MLF's'') non produce algoritmi multiradiali. In generale, gli ambienti mono-theta hanno rigidità multipla costante.

* '''La rigidità ciclotomica''' The cyclotomic rigidity of mono-theta environments discussed above allows one to perform Kummer theory for the theta function in a multiradial manner

* La teoria di Kummer applicata agli ambienti mono-theta e alle funzioni theta (entrambi per funzioni k-coriche) porta alla teoria della valutazione di Hodge-Arakelov e alla costruzione dei monoidi gaussiani (monoidi generati dai valori theta).

* Alcuni gruppi topologici e alcuni frobenioidi temperati permettono la ricostruzione di ambienti mono-theta insieme alla rigidità discreta degli ambienti mono-theta; dopodiché, si riesce (tra i vari) a costruire i monoidi gaussiani. Questi ultimi, se combinati con la teoria dei log-link, portano ai monoidi LGP, che sono dotati di scissioni canoniche naturali (''natural canonical splittings'') che sorgono proprio dalla rigidità multipla costante degli ambienti mono-theta.

By contrast, the most classical version of cyclotomic rigidity, which is deduced from local class field theory for MLF’s (cf. Section 0.2), does not yield a multiradial algorithm (cf. Remark 11.4.1, Proposition 11.15 (2), and Remark 11.17.2 (2))

* The Kummer theory discussed above for mono-theta environments and theta functions (resp. for κ-coric functions) leads naturally to the theory of Hodge-Arakelovtheoretic evaluation

and the construction of Gaussian monoids, i.e., in essence, monoids generated by theta values (

* The reconstruction of mono-theta environments from (suitable types of) topological groups (Corollary 7.22 (2) “Π 7→ M”) and tempered Frobenioids (Theorem 8.14 “F 7→ M”),

together with the discrete rigidity of mono-theta environments, allows one to derive Frobenioid-theoretic versions of the group-theoretic versions of Hodge-Arakelov evaluation and the construction of Gaussian monoids just described.

By combining the construction of Gaussian monoids just discussed with the theory of log-links, one obtains LGP-monoids. LGP-monoids are equipped with natural canonical splittings, which arise, via canonical splittings of theta monoids (i.e., in essence, monoids generated by theta functions), from the constant multiple rigidity of mono-theta environments.

* The theory of log-links and log-shells, both of which are closely related to the local units of number fields under consideration (Section 5, Section 12), together with the Kummer theory that relates corresponding Frobenius-like and ´etale-like versions of objects, gives rise to the log-Kummer correspondences for the theta values (which are related to the local value groups of the number fields under consideration) and (global) number fields under consideration

admitting three kinds of mild indeterminacies, and applying the noninterefence properties of log-Kummer correspondences, one obtains the multiradiality of the final multiradial algorithm (Theorem 13.12). In the final multiradial algorithm, we use the theta values (which are related to the local value groups) to construct the Θ-pilot objects and log-shells, tra I vari.

In this section, we construct a kind of “rigid containers” called log-shells both for non-Archimedean and Archimedean local fields.

Tre tipi: Frobenius-like holomorphic log-shell, ´etale-like holomorphic log-shel, etale-like mono-analytic log-shell. Due tipi: local log-volume function, local radial log-volume function.

* I [[Frobenioide|frobenioidi]] sono sia usati per ricavare algoritmi di ricostruzione appartenenti alla teoria delle categorie (dunque quasi non attinenti alla IUT), ma gli oggetti simil-Frobenius (Frobenius-like) sono usati anche per ricavare i theta-log e i log-link. Gli oggetti simil-étale (étale-like) penetrano i theta-link e i log-link, che altrimenti sarebbero impenetrabili come dei muri.

* Se si combina la multiradialità dell'algoritmo multiradiale finale con la compatibilità di tale algoritmo sia con il theta-link che con i volumi logaritmici, i log-link e varie proprietà che riguardano i frobenioidi globali, si ottiene un limite superiore (''upper bound'') per l'altezza di una data curva ellittica.

* Finally, by combining the multiradiality of the final multiradial algorithm with the compatibility of this algorithm with the Θ-link, the compatibility of the log-volumes with the log-links (Section 5), and various properties concerning global Frobenioids, we obtain an upper bound for the height of the given elliptic curve

* La teoria intorno ai log-link e ai gusci logaritmici, combinati con la teoria di Kummer che mette in correlazione le versioni simil-Frobenius e simil-étale degli oggetti, portano alle corrispondenze di Kummer logaritmiche (''log-Kummer correspondences'') per i valori theta. Le corrispondenze di Kummer logaritmiche hanno proprietà di non-interferenza che, se applicate, portano a ottenere la multiradialità dell'algoritmo finale; se si usano i valori theta su questo algoritmo, si costruiscono gli oggetti theta-pilota e i gusci logaritmici, tra i vari.

* I [[Guscio logaritmico|gusci logaritmici]] (per la precisione, i gusci logaritmi mono-analitici simil-étale) equipaggiati con [[Funzione di volume logaritmico|funzioni di volume logaritmico]] (''log-volume functions'', dove il logaritmo è riferito a una misura ''p''-adica) sono il primo dei tre oggetti principali per stabilire gli algoritmi multiradiali; inoltre, i gusci logaritmici sono anche gli oggetti su cui agiscono le indeterminazioni. I valori theta che agiscono su questi gusci logaritmici sono il secondo dei tre oggetti; i campi di numeri globali che agiscono su questi gusci logaritmici sono il terzo. I gusci logaritmici si possono anche pensare come "contenitori rigidi" e sono costruibili sia per campi locali archimedei che non-archimedei. I gusci logaritmici discussi nella IUT sono gusci logaritmici olomorfi simil-Frobenius, gusci logaritmici olomorfici simil-étale e gusci logaritmici mono-analitici simil-étale.

* [[Teoria delle categorie]] e [[topologia]] astratta: [[isomorfismo]] e isomorfismo naturale (e.g., isomorfismo dei monoidi topologici, isomorfismo di Kummer), [[omomorfismo]] (e omomorfismo naturale e iniettivo), [[automorfismo]] lineare e primitivo e [[Automorfismo interno|interno]], [[poli-morfismo]], [[poli-isomorfismo]] e [[poli-automorfismo]] più il concetto di poli-azione (un'azione attraverso il poli-automorfismo) e di [[Capsula (matematica)|capsula]]. Compattificazione (e il relativo genere), concetto poi ripreso dalla geometria algebrica; compattificazione liscia canonica. [[Rivestimento (topologia)|Rivestimento]] (originario della topologia ma esteso in geometria algebrica fino a formare il "rivestimento di Galois étale finito" e il "rivestimento abeliano", ''Galois covering'' e ''Abelian covering''; quest’ultimo può essere o non essere ramificato. Rivestimento étale (''étale covering,'' e.g. rivestimento étale profinito) e rivestimento temperato o "temp" (''tempered covering''); in questo contesto, l'analogo di un anabelioide connesso è il "temperoide connesso", mentre come proprietà l’analogo di "snello" è "temperato-snello" (''temp-slim''). Campi Kummer-fedeli (''Kummer-faithful''). Immersione aperta (e.g., di gruppi profiniti). Superficie topologica orientabile. Pre-fascio (''presheaf''). [[Morfismo]] (e.g., morfismo locale, morfismo di uno spazio Aut-olomorfico, morfismo di [[Orbispazio|orbispazi]] Aut-olomorfici ellitticamente ammissibili con strutture di Kummer, morfismo di monoidi scissi), concetto per cui è necessario già conoscere le mappe che preservano la struttura (''structure-preserving maps''). [[Orbifold]] (cioè "''orbit manifold''" o "orbivarietà", e.g., orbifold complesso unidimensionale; le [[Orbisuperficie|orbisuperfici]] invece sono orbivarietà bidimensionali, e.g., [[Orbisuperficie di Riemann|orbisuperfici di Riemann]]. Il concetto di [[orbispazio]] è correlato alle orbivarietà). [[Monoide topologico|Monoidi topologici]] astratti. Morfismo dei temperoidi (l'analogo in contesto temperato del "morfismo degli anabelioidi").

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* Oltre alla funzione theta e alla funzione di volume logaritmico, tra le varie funzioni avanzate, è usata la funzione di volume logaritmico radiale.

* [[Teoria dei moduli]]: [[Modulo topologico|moduli topologici]] additivi e [[modulo di Tate]].

'''holomorphic hull di un sottoinsieme A: a che branca appartiene questo concetto in matematica???'''

* Algebra astratta in generale: [[teoria di Kummer]] (a cui si collega direttamente la mappa di Kummer), [[successione di Chaucy]] di punti-NF (''Cauchy sequence of NF-points'').

* [[Geometria aritmetica]]: fasci di rette aritmetici (''arithmetic line bundle'') su uno schema ''X''. Divisore aritmetico e divisore aritmetico principale. Funzione altezza logaritmica (''logarithmic height function'') di un fascio di rette aritmetico su uno schema ''X''. [[Altezza di Faltings]] (''Faltings height'', ht^Falt). [[Metrica hermitiana]] su un fascio di rette. [[Abelinizzazione]] (una struttura algebrica viene resa abeliana). [[Ipotesi di Riemann]] per le varietà abeliane su campi finiti (dimostrata da Weil).