Teoremi di incompletezza di Gödel: differenze tra le versioni

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In [[logica matematica]], '''i teoremi di incompletezza di Gödel''' sono due famosi teoremi dimostrati da [[Kurt Gödel]] nel settembre del [[1930]].<ref name="Kurt#">{{Cita libro|titolo=Kurt Gödel. Paradossi logici e verità matematica|autore=Gianbruno Guerrerio|editore=Le Scienze|anno=2001|pp=51, 101}}</ref> Gödel enunciò il suo primo teorema di incompletezza durante una tavola rotonda a margine della Seconda Conferenza sull'[[epistemologia]] delle [[scienze esatte]] di [[Königsberg]].<ref name="Kurt#"/> [[John von Neumann]], presente alla discussione, riuscì a dimostrare il teorema per conto suo verso la fine del 1930 e, inoltre, fornì una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, che annunciò a Gödel in una lettera datata 20 novembre 1930. Gödel aveva, nel frattempo, a sua volta ottenuto una dimostrazione del secondo teorema di incompletezza, e lo incluse nel manoscritto che fu ricevuto dalla rivista ''Monatshefte für Mathematik'' il 17 novembre 1930.<ref>John W. Dawson, Jr., ''Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel'', p. 70, A. K. Peters, Wellesley Mass, 1997.</ref> Essi fanno parte dei ''teoremi limitativi'', che precisano le proprietà che i [[Sistema formale|sistemi formali]] non possono avere. —

Teorema di Differenziazione Strutturale

Premessa Ontologica

Nel sistema qui proposto, si assume che l’unità computazionale minima non sia l’unità aritmetica classica (1), ma una quantità irrazionale fondamentale;

E := √2

Questa scelta è ontologica e non solo simbolica: E rappresenta l’elemento indivisibile, la radice di ogni costruzione formale. Ogni sistema coerente deve quindi strutturarsi attorno a questa unità non rappresentabile né riducibile ad altri enti simbolici

Assiomi di ZORN++

1. Unità Ontologica Radicata

L’unità computazionale minima non è 1, ma E = √2.

Sebbene si usi per convenzione il simbolo “1”, ogni operazione è sempre riferita all’unità radicale √2, che resta semanticamente fissa e non sostituibile.

2. Unicità del Referente

Ogni simbolo nel sistema può riferirsi a un solo oggetto semantico. Qualsiasi ambiguità referenziale — ossia l’attribuzione multipla di significato alla stessa unità — rende il sistema internamente incoerente.

3. Dominio della Coerenza

Dato un insieme di sistemi computazionali, il sistema con maggiore coerenza referenziale è logicamente in grado di falsificare ogni sistema meno coerente indipendentemente dalla notazione o dalla nomenclatura

La coerenza semantica è la metrica assiomatica della forza logica.

Definizione di Sistema Computazionale Z

Sia Z un sistema computazionale costruito sull’unità E = √2. Si impongono le seguenti condizioni

- Tutte le operazioni, trasformazioni e strutture sono ottenute da combinazioni di E (finite o infinite)

- Il sistema conserva l’unicità referenziale di E in ogni contesto sintattico e semantico.

- Sono vietate ridefinizioni o sovrapposizioni simboliche: E ≠ 1, E ≠ 1/2, E ≠ i, ecc.

== Primo teorema di incompletezza ==