Matrice diagonale: differenze tra le versioni
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m ma perché quegli invii??? |
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In [[matematica]], una '''matrice diagonale''' è una [[matrice quadrata]] in cui solamente i valori della [[diagonale principale]] possono essere diversi da 0.
Non si impone che i valori sulla diagonale siano diversi da zero: la matrice quadrata [[matrice nulla|nulla]] è quindi diagonale.
Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici:
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== Definizione formale ==
Una matrice <math> n\times n, D = (d_{i,j})</math> è '''diagonale''' se:
:<math>\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\} \mbox{ con } i \ne j \;:\; d_{i,j} = 0 </math>
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:diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) · diag(''b''<sub>1</sub>,...,''b''<sub>''n''</sub>) = diag(''a''<sub>1</sub>''b''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>''b''<sub>''n''</sub>).
La matrice diagonale diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) è [[matrice invertibile|invertibile]] se e solo se le sue entrate ''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub> sono tutte non nulle. In questo caso, abbiamo
:diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>)<sup>-1</sup> = diag(''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>,...,''a''<sub>''n''</sub><sup>-1</sup>).
In particolare, le matrici diagonali formano un [[sottoanello]] delle matrici dell'anello delle matrici ''n'' × ''n''.
Moltiplicare la matrice ''A'' da sinistra per diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) equivale, per ogni ''i'' a moltiplicare la ''i''-esima ''riga'' di ''A'' per ''a''<sub>''i''</sub> per ogni ''i''; moltiplicare la matrice ''A'' da ''destra'' con diag(''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) equivale a moltiplicare la ''i''-esima ''colonna'' di ''A'' per ''a''<sub>''i''</sub> per ogni ''i''.
Le matrici diagonali ''n'' × ''n'' quindi rappresentano trasformazioni che sugli assi di riferimento hanno l'effetto delle [[omotetia|omotetie]]. La presenza di uno zero sulla diagonale principale equivale alla eliminazione della corrispondente dimensione. Consideriamo ad es. le seguenti matrici
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0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
</math>
La prima esprime la [[riflessione]] rispetto al piano ''Oxz''. La seconda esprime la [[proiezione]] sul piano ''Oxy'' seguita dalla riflessione rispetto all'asse ''Ox''. La terza la [[proiezione ortogonale]] dello spazio sull'asse ''Oy'' seguita dalla riflessione di quest'ultimo e dalla sua [[omotetia]] per un fattore 3.
== Autovettori, autovalori, determinante ==
Gli [[autovalore|autovalori]] della diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) sono ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>. I vettori unità '''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub> formano una [[base (algebra lineare)|base]] di autovettori. Il [[determinante]] della diag(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>) è il prodotto ''a''<sub>1</sub>...''a''<sub>''n''</sub>.
Dunque una matrice diagonale di ordine ''n'' soddisfa le ''n'' equazioni del tipo:
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== Applicazioni ==
Le matrici diagonali si incontrano in molte aree dell'[[algebra lineare]]. Data la semplicità operativa delle matrici diagonali, è sempre consigliabile ricondurre una matrice data ad una matrice diagonale e rappresentare un [[operatore lineare|applicazione lineare]] mediante una matrice diagonale.
In effetti, una matrice data ''n'' × ''n'' è [[similitudine fra matrici|simile]] ad una matrice diagonale se e solo se possiede ''n'' [[autovettore|autovettori]] [[linearmente indipendenti]]. Questa è una [[matrice diagonalizzabile]].
Sul [[campo (matematica)|campo]] dei [[numeri reali|reali]] o su quello dei [[numero complesso|complessi]] si può affermare di più:
ogni [[matrice normale]] è [[matrici simili|unitariamente simile]] alla matrice diagonale (per il [[teorema spettrale]]), e ogni matrice è [[equivalenza sinistra-destra fra matrici|unitariamente equivalente]] ad una matrice diagonale con entrate non negative (per la [[decomposizione ai valori singolari]]).
==Voci correlate==
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