Operatore di Laplace: differenze tra le versioni

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L'operatore di Laplace viene generalizzato a spazi non euclidei, dove si presenta anche nella forma, ad esempio, di [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|iperbolico]]. In particolare, nello [[spaziotempo di Minkowski]] l'operatore di Laplace-Beltrami diventa l'[[operatore di d'Alembert]].

Il laplaciano viene impiegato, ad esempio, per [[modello matematico|modellaredescrivere]] la [[equazione delle onde|propagazione ondosa]] ed [[equazione del calore|il flusso del calore]], comparendo nell'[[equazione di Helmholtz]]. Riveste un ruolo centrale anche in [[elettrostatica]], dove è utilizzato nell'[[equazione di Laplace]] e nell'[[equazione di Poisson]]. In [[meccanica quantistica]] rappresenta l'osservabile energia cinetica ed è presente nell'[[equazione di Schrödinger]]. In [[idraulica]] viene utilizzato per ricavare l'espressione della [[cadente piezometrica]] in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel [[regime laminare]]. Infine, l'operatore di Laplace si trova al centro della [[teoria di Hodge]] e dei risultati della [[coomologia di De Rham]].

== Definizione ==

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:<math>\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)</math>

Dove <math>\wedge^2</math> è il ''[[legendriano]]'', ed ècioè la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella [[meccanica quantistica]] per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella,; edtale parte angolare è definita come:

:<math> \wedge^2 = \frac1{\sin^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial \over \partial \theta} \right) </math>

Questa rappresentazione è particolarmente importante perché consente l'applicazione del metodo della [[separazione delle variabili]] nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]] che si deve calcolareutilizzato per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso, appunto, di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].

===3 dimensioni===