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==== Efficacia ====
Verifichiamo quanto è affidabile la cifra di controllo. Supponiamo di avere il codice ''a<submath>i(a_1, a_2,\ldots,a_9)</submath>. =Siano a<sub>1</submath>(p_1, a<sub>2</sub>p_2, ...\ldots, p_9) = (10,a<sub>9,\ldots,2)</submath>'' i pesi associati. SianoLa cifra di controllo sarà ''p<submath>11-\left(\sum_{i=1}^{9} p_i a_i \mod 11 \right) </submath>'' i pesi associati. <!--La cifra di controllo sarà: ''11 - (Σ<sup>9</sup><sub>i=1</sub> a<sub>i</sub>p<sub>i</sub> mod 11)''--> Se si verifica uno scambio, ossia vengono invertiti due numeri, diciamo il j-esimo e il k-esimo, la somma differirà. Per dar luogo alla stessa cifra di controllo, la differenza tra le somme dovrebbe essere un multiplo di 11. Ossia, ''[[ceteris paribus]]'',
:<math>[(a_j\cdot p_j + a_k\cdot p_k) - (a_j\cdot p_k + a_k\cdot p_j)] \operatorname{mod} 11 = 0</math>
:<math>(p_j-p_k)(a_j - a_k) \operatorname{mod} 11 = 0</math>
Ora, visto che né l'uno né l'altro termine della moltiplicazione possono essere divisibili per undici, visto che i ''p<submath>ip_i</submath>'' vanno da 2 a 10, e gli ''a<submath>ia_i</submath>'' sono numeri da 0 a 9, uno scambio singolo non può mai dare la stessa somma, a meno che il secondo termine non sia nullo, ossia i due numeri scambiati siano uguali.: Maa tutti gli effetti pratici, questo non è uno scambio, a tutti gli effetti pratici.
Se invece abbiamo un errore, ossia si legge un numero al posto di un altro, fatto possibile con i lettori ottici, avremo che un ''a<submath>ia_i</submath>'' sarà invece letto come ''<math>b ≠\neq a<sub>ia_i</submath>''. La stessa considerazione fatta sopra ci dà
:<math>(b - a_i)p_i \operatorname{mod} 11 = 0</math>
Poiché ''p<submath>ip_i</submath>'' non è mai multiplo di 11, e ''<math>b - a<sub>ia_i</submath>'' può andare al massimo da -9 a +9, l'unico ''multiplo'' di 11 è 0, ossia i due numeri sono uguali, cioè nessun errore. È possibile che ci sia un ''doppio'' errore, o anche di più, nel qual caso potrebbe verificarsi che due codici diversi abbiano la stessa cifra di controllo. Tuttavia la probabilità che ci siano due errori è molto inferiore a quella di un singolo errore, e la probabilità che il doppio errore causi proprio una differenza multipla di 11 o nulla è di circa il 9% (accade infatti mediamente una volta su 11). Perciò oltre a identificare tutti gli scambi e gli errori singoli, è anche molto efficace nell'individuare gli errori multipli: inserendo due numeri a caso, questi daranno la stessa cifra di controllo una volta su 11, in media.<ref>Albrecht Beutelspacher, ''Pasta all'infinito. Il mio viaggio matematico in Italia'', traduzione di Alessandro Peroni, Milano, Ponte alle Grazie, 2000, pp. 111-116, ISBN 88-7928-505-X.</ref>
==== Calcolo della cifra di controllo nell'ISBN-13 ====
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