Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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Una funzione
:<math>F: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>
è '''differenziabile''' in <math>\mathbf x_0</math> se esiste una [[applicazione lineare]]
:<math>A: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>
(dipendente dal punto <math>\mathbf x_0</math>) tale che
:<math>\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} \frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}} = \mathbf 0</math>
(i caratteri in grassetto rappresentano [[vettore (matematica)|vettori]]);
in questo caso l'applicazione <math>A</math> si indica con la scrittura <math>DF(\mathbf x_0)</math> e si chiama [[differenziale]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.
* Se il [[dominio]] <math>\mathbb R^n</math> e il [[codominio]] <math>\mathbb R^m</math> hanno [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] maggiore di 1 allora l'[[applicazione lineare]] <math>DF(\mathbf x_0)</math> è rappresentata da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>n \times m</math> che viene chiamata [[matrice jacobiana]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.
* Se il [[dominio]] <math>\mathbb R^n</math> ha dimensione maggiore di 1 e il codominio è <math>\mathbb R</math> allora <math>DF(\mathbf x_0)</math> è rappresentato da un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale che viene chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.
* Se dominio e codominio sono <math>\mathbb R</math> (o suoi sottoinsiemi [[insieme aperto|aperti]]) la ''differenziabilità'' corrisponde alla ''derivabilità'' ed il ''differenziale'' alla ''[[derivata]]''.
* Se il dominio è unidimensionale la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è dato dal [[vettore (matematica)|vettore]] delle derivate delle componenti della curva e se è non nullo individua in ogni punto la direzione [[tangente (geometria)|tangente]] alla curva.
=== Osservazioni ===
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