Punto materiale: differenze tra le versioni

Versione delle 00:15, 23 ott 2007

Versione delle 15:49, 24 mag 2008

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Diversamente <math>\vec{F} = m \vec{a}</math> e la rappresentazione di punto materiale si applicherebbero solo ad eventuali costituenti elementari realmente privi di struttura interna, ma sarebbero inapplicabili ai corpi estesi. Sarebbe quindi impossibile rappresentare come punto materiale un qualunque corpo di cui sia possibile trascurare i gradi di libertà interni.

==Trattazione analitica==

È possibile dare una descrizione matematicamente rigorosa del punto materiale attraverso l'uso dell'[[analisi funzionale]] e della distribuzione [[delta di Dirac]].

Supponiamo di avere un corpo di massa ''m'' = 1 [[kg]] di forma cubica (anche se la forma non è essenziale). Se lo spigolo del cubo è <math>l_n=\frac{1}{n}</math>, con ''n'' intero positivo, la densità del cubo deve essere:

:<math>\rho(x,y,z)=\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{se }\operatorname{max}(|x|,|y|,|z|) > 1/2n \\ n^3, & \mbox{se }\operatorname{max}(|x|,|y|,|z|) \le 1/2n

\end{matrix}\right.</math>

in modo tale che la densità, integrata su tutto lo spazio, dia 1:

:<math>\iiint_{\mathbb {R}^3} \rho \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z=n^3 \int_{-1/2n}^{1/2n}\mbox{d}x \int_{-1/2n}^{1/2n}\mbox{d}y \int_{-1/2n}^{1/2n}\mbox{d}xz = n^3 \left( \frac{1}{n}\right)\cdot\left( \frac{1}{n}\right)\cdot\left( \frac{1}{n}\right)=1</math>

Interpretando la funzione densità come un [[funzionale]] <math>F_n</math> sullo spazio delle funzioni di prova <math>\varphi</math> su <math>\mathbb{R}^3</math>, si dimostra facilmente la [[convergenza]] (nel senso delle distribuzioni) al funzionale [[delta di Dirac]]:

:<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\left|F_n-\varphi(0,0,0)\right|=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\iiint_{\mathbb {R}^3} \rho \varphi(x,y,z) \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z-\varphi(0,0,0)\right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{|x|,|y|,|z| \le 1/2n}\left| \varphi(x,y,z)-\varphi(0,0,0)\right| = 0</math>

dove l'ultimo passaggio è dovuto alla [[funzione continua|continuità]] di <math>\varphi</math>.

In altre parole, per n che tende all'infinito, il funzionale <math>F_n(\varphi)</math> restituisce proprio la funzione di prova <math>\varphi</math> calcolata nell'origine: ma questa è proprio la definizione di delta di Dirac.

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