Anello noetheriano: differenze tra le versioni

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In [[algebra]], un '''anello noetheriano''' è un [[anello (algebra)|anello]] i cui [[ideale (matematica)|ideali]] sono finitamente generati. Questa proprietà per gli anelli costituisce un analogo della finitezza, e fu studiata per prima da [[Emmy Noether]], che la rilevò sugli [[anello dei polinomi|anelli di polinomi]].

{{S|matematica}}

In [[matematica]] un [[anello (algebra)|anello]] (''A'') [[operazione commutativa|commutativo]] con identità si dice '''anello noetheriano''' se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:

#Ogni [[ideale (matematica)|ideale]] di A è finitamente generato.

#Ogni catena ascendente di ideali di A ad un certo punto si stabilizza.

#Ogni famiglia F di ideali di A ammette almeno un elemento massimale (per F).

==Definizione formale==

Esempi di anelli noetheriani sono i [[campo (matematica)|campi]] e gli anelli ad ideali principali.

Un anello <math>A</math> si dice neoetheriano ''sinistro'' se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:

# ogni ideale sinistro <math>I</math> di <math>A</math> è finitamente generato, cioè esistono degli elementi <math>a_1, \ldots , a_n \in I</math> tali che <math>I = A a_1 + \ldots + A a_n + \mathbb{Z} a_1 + \ldots + \mathbb{Z} a_n</math><ref>Se l'anello è dotato di unità, la condizione si può scrivere più semplicemente <math>I = A a_1 + \ldots + A a_n</math></ref>

# ogni catena ascendente di ideali sinistri di <math>A</math> è stazionaria ([[condizione della catena ascendente]]);

# ogni famiglia di ideali sinistri di <math>A</math> non vuota e parzialmente ordinata ammette almeno un [[ideale massimale|elemento massimale]].

Se le medesime proprietà valgono per gli ideali destri, l'anello è detto noetheriano ''destro''; un anello che è contemporaneamente noetheriano destro e sinistro, è detto semplicemente noetheriano.

Per gli [[anello commutativo|anelli commutativi]] le tre definizioni sopra coincidono, ed inoltre esiste una quarta proprietà equivalente:

#Ogni* ogni [[ideale (matematica)|idealeprimo]] di Adell'anello è finitamente generato.

==Esempi==

Sono anelli noetheriani:

* l'anello dei [[numero intero|numeri interi]] <math>\mathbb{Z}</math>, in cui ogni ideale è [[ideale principale|principale]], cioè generato da un solo elemento;

* tutti i [[campo (matematica)|campi]]; un campo <math>C</math> ha infatti due soli ideali, <math>\{0\}</math> e sé stesso, <math>C = 1 C</math> (ovvero l'intero campo è generato dall'[[elemento neutro]] della moltiplicazione);

* l'anello dei [[polinomi]] in un numero finito di variabili, a [[coefficiente|coefficienti]] interi o appartenenti ad un campo.

Sono anelli non noetheriani:

* l'anello dei polinomi in infinite variabili <math>X_1, X_2, X_3, \ldots</math>; la sequenza ascendente di ideali <math>\left( X_1 \right) ,\, \left( X_1, X_2 \right) ,\, \left( X_1, X_2, X_3 \right) ,\, \ldots</math> infatti non ha un termine;

* l'anello delle [[funzione (matematica)|funzioni]] [[funzione continua|continue]] reali di [[funzione di variabile reale|variabili reali]]; dato l'ideale <math>I_n = \left\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(x) = 0 \,\forall x \geq n \right\}</math>, la catena ascendente <math>I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset \ldots</math> non termina.

==Relazioni con altre strutture algebriche==

Dato un anello noetheriano <math>A</math>, è possibile generare altri anelli noetheriani; ad esempio sono noetheriani anche l'anello dei polinomi a coefficienti nell'anello <math>A[X]</math>, e l'anello delle [[serie di potenze]] <math>A[[X]]</math>; inoltre, dato un ideale bilatero <math>I</math>, l'[[anello quoziente]] <math>A/I</math> è anch'esso noetheriano.

Dalle precedenti proprietà segue che ogni [[algebra su campo|algebra]] commutativa su di un campo è un anello noetheriano. Sono anche noetheriani tutti gli [[anello artiniano|anelli artiniani]].

==Moduli noetheriani==

Un diretto analogo degli anelli noetheriani sono i ''moduli noetheriani'', che presentano le medesime proprietà degli anelli noetheriani, definite però rispetto ai propri sottomoduli; un modulo noetheriano è pertanto un [[modulo (struttura)|modulo]] per cui valgono le seguenti condizioni equivalenti:

# tutti i suoi sottomoduli son finitamente generati;

# i suoi sottomoduli soddisfano la condizione della catena ascendente;

#Ogni ogni famiglia Fnon di idealivuota di Asottomoduli ammette almenopossiede un elemento massimale (per F).

Esiste uno stretto legame tra anelli e sottomoduli noetheriani: infatti ogni anello noetheriano è anche un modulo noetheriano su sé stesso; inoltre un anello <math>A</math> è noetheriano sinistro (destro) se e solo se ogni <math>A-modulo</math> sinistro (destro) finitamente generato è noetheriano.

==Applicazioni==

La proprietà di "finitezza" degli anelli noetheriani viene utilizzata nella [[teoria degli anelli]] e nella [[geometria algebrica]] per numerose applicazioni. Ad esempio, un insieme di infinite [[equazione polinomiale|equazioni polinomiali]] può essere rimpiazzato da un insieme finito di equazioni con le stesse soluzioni, grazie al fatto che l'anello dei polinomi su un campo è noetheriano; la riduzione è operata considerando l'ideale generato dai polinomi associati alle equazioni: i polinomi generatori dell'ideale, che sono in numero finito, hanno le stesse [[radice (matematica)|radici]] degli infiniti polinomi di partenza.

==Note==

<references/>

==Voci correlate==

* [[Anello artiniano]]

* [[Anello di Dedekind]]

* [[Teorema della base di Hilbert]]

{{Algebra}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli anelli]]

[[Categoria: Teoria deglidegi anelli]]

[[ca:Anell noetherià]]

[[de:Noethersch]]