Funzione omogenea: differenze tra le versioni
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In particolare ponendo <math>\ \alpha = 1 </math> si ottiene
: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = kf(x_{1}, . . ., x_{n}) </math>
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== Dimostrazione alternativa ==
'''Enunciato:'''
Sia <math>f:A\rightarrow\ R</math> una funzione differenziabile su un cono aperto <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alpha</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta identità di Eulero:
<math>\langle \nabla f(x), x \rangle = \alpha f(x) \forall x \in A</math>
'''
Dimostrazione:'''
Per <math>x \in A</math> consideriamo la funzione <math>F:]0, \infty[ \rightarrow R</math> con legge:
<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^\alpha}</math>
Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alpha</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ed uguale ad <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Da un noto [[Funzione_costante|teorema]] ciò avviene se e solo la derivata prima di <math>F(x)</math> è identicamente nulla in tutto il suo dominio <math>]0, \infty[</math>.
Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[teorema di derivazione delle funzioni composte]] ed applicando la formula si ottiene:
<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2\alpha}} [\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t^{\alpha}-\alpha t^{\alpha-1} f(tx)]=\frac 1 {t^{\alpha+1}}[\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t - \alpha f(tx)]</math>
imponendo la condizione di funzione costante otteniamo:
<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t = \alpha f(tx) \forall x \in A, \forall t>0</math>
sfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:
<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) x_i t = \alpha f(x) \forall x \in A</math>
che altro non è che l'identità di Eulero (solo che il prodotto scalare è esplicitato).
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