Sistema input-output: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
|||
Riga 3:
== Il modello chiuso di Leontief ==
Nel modello chiuso, introdotto da Leontief nel 1941, si descrivono i flussi di beni e servizi tra tutti i settori di un'economia in un dato arco di tempo. Non vi è distinzione tra settori di produzione e settori di consumo: così come i settori della produzione si scambiano beni e servizi (ad esempio, l'agricultura fornisce materie prime all'industria, ovvero l'industria «consuma» prodotti agricoli: i cosiddetti [[Consumo|consumi intermedi]]), i consumatori forniscono risorse ai settori produttivi (che «consumano» lavoro) e spendono i redditi ricevuti come contropartita nel consumo dei beni e servizi prodotti (cosiddetti [[Consumo|consumi finali]]).
Ad esempio:<ref>L'esempio è adattato (tradotto) da W. Leontief, «Input-output analysys», in ''Input-Output Economics'', 1986, pp. 19-40.</ref>
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:center"
|+ style="border-bottom:2px solid black; text-align:left; font-size:smaller" | Tabella 1. ''Modello chiuso semplificato per un'economia a tre settori''.
| style="text-align:right" | ''a'':
! style="width:6em" | Agricoltura || style="width:6em" | Industria || style="width:6em" | Famiglie || Totale
|-
| style="border-bottom:1px solid black; text-align:left" | ''da'':
| style="border-bottom:1px solid black;" |
| style="border-bottom:1px solid black;" |
| style="border-bottom:1px solid black;" |
| style="border-bottom:1px solid black;" |
|-
! style="text-align:left" | Agricoltura
| 7,5 || 6 || 16,5
| style="text-align:left" | 30 quintali di grano
|-
! style="text-align:left" | Industria
| 14 || 6 || 30
| style="text-align:left" | 50 metri di stoffa
|-
! style="text-align:left" | Famiglie
| 80 || 180 || 40
| style="text-align:left" | 300 anni-uomo di lavoro
|}
Le righe della tabella mostrano gli output (le erogazioni):
* l'agricoltura produce 30 quintali di grano, di cui 7,5 consumati da se stessa (sementi), 6 dall'industria e 16,5 dalle famiglie (grano, carne, frutta, ecc.);
* l'industria produce 50 metri di stoffa, di cui 14 consumati dall'agricoltura e 6 da se stessa, 30 dalle famiglie;
* le famiglie forniscono in totale 300 anni-uomo (300 uomini impegnati nel lavoro tutto l'anno), di cui 80 all'agricoltura (contadini), 180 all'industria (operai) e 40 a se stesse (lavori domestici).
Le colonne mostrano gli input (le immissioni):
* l'agricultura impiega 7,5 quintali di grano, 14 metri di stoffa e 80 anni-uomo per produrre 30 quintali di grano:
* l'industria impiega 6 quintali di grano, 6 metri di stoffa e 180 anni-uomo;
* le famiglie spendono i loro redditi da lavoro per acquistare 16,5 quintali di grano, 30 metri di stoffa e 40 anni-uomo di lavoro.
Deve esistere un sistema di prezzi che garantisca la possibilità effettiva degli scambi tra i diversi settori; nel caso della Tabella 1 i prezzi sono 20 euro per un quintale di grano, 15 euro per un metro di stoffa, 2 euro per un anno-uomo di lavoro. Si ottiene così la tabella dei valori:
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:center"
|+ style="border-bottom:2px solid black; text-align:left; font-size:smaller" | Tabella 2. ''Modello chiuso semplificato con valori in euro''.
| style="text-align:right" | ''a'':
! style="width:6em" | Agricoltura || style="width:6em" | Industria || style="width:6em" | Famiglie || style="width:6em" | Totale
|-
| style="border-bottom:1px solid black; text-align:left" | ''da'':
| style="border-bottom:1px solid black;" |
| style="border-bottom:1px solid black;" |
| style="border-bottom:1px solid black;" |
| style="border-bottom:1px solid black;" |
|-
! style="text-align:left" | Agricoltura
| 150 || 120 || 330 || 600
|-
! style="text-align:left" | Industria
| 210 || 90 || 450 || 750
|-
! style="text-align:left" | Famiglie
| 240 || 540 || 120 || 900
|-
|
| style="border-top:1px solid black;" | 600
| style="border-top:1px solid black;" | 750
| style="border-top:1px solid black;" | 900
| style="border-top:1px solid black;" | 2.250
|}
La prima riga mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto (utilizzo diretto o scambi tra agricoltori), ne vende parte all'industria per 120 euro ed il resto alle famiglie per 330 euro, con un ricavo complessivo di 600 euro.
La prima colonna mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto, 210 euro di prodotti industriali e 240 di lavoro (salari), per un costo complessito di 600 euro.
Analogamente per gli altri settori, che chiudono anch'essi «in pareggio». Ciò consente di iniziare un nuovo ciclo annuale (tutti i settori ricevono gli input necessari per una nuova produzione), che si svolgerà come il precedente. Si dice quindi che i prezzi indicati garantiscono la ''riproducibilità'' del sistema economico considerato.
Analiticamente, il prodotto totale dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore si indica con ''q<sub>i</sub>'', la quantità prodotta dall<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore e impiegata dal ''j''-esimo si indica con ''q<sub>ij</sub>'', il prezzo del prodotto dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore con ''p<sub>i</sub>''. Le due tabelle costituiscono casi particolari dei due [[Sistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]]:
:<math>\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots+q_{1n}=q_1\\q_{21}+q_{22}+\dots+q_{2n}=q_2\\ \dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots+q_{nn}=q_n\end{cases}\qquad\begin{cases}q_{11}p_1+q_{21}p_2+\dots+q_{n1}p_n=q_1p_1\\q_{12}p_1+q_{22}p_2+\dots+q_{n2}p_n=q_2p_2\\ \dots \\q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+\dots+q_{nn}p_n=q_np_n\end{cases}</math>
Da notare che le righe del primo sistema corrispondono alle righe della Tabella 1, mentre le righe del secondo corrispondo ''alle colonne'' della Tabella 2 ed esprimono la condizione di «pareggio», cioè di uguaglianza tra il valore degli input di ciascun settore (somma della relativa colonna) e il valore del suo output (somma di riga).
Dividendo la quantità di un prodotto utilizzato in un settore per la quantità totale del prodotto dello stesso settore si ottengono i ''coefficienti tecnici di produzione'':
:<math>a_{ij}=\frac{q_{ij}}{q_j}</math>
Ad esempio, ''a<sub>21</sub>''=''q<sub>21</sub>''/''q<sub>1</sub>''=14/30=0.4667 ci dice che la produzione di stoffa assorbe il 46,67% del grano complessivamente prodotto dal sistema.
Dividendo ciascuna riga del secondo sistema per le quantità prodotte, si ottiene un nuovo sistema espresso in termini dei coefficienti tecnici di produzione:
:<math>\begin{cases}a_{11}p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=p_1\\a_{12}p_1+a_{22}p_2+\dots+a_{n2}p_n=p_2\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+a_{nn}p_n=p_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>A\vec{p}=\vec{p}</math>
ovvero:
:<math>\begin{cases}(a_{11}-1)p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=0\\a_{12}p_1+(a_{22}-1)p_2+\dots+a_{n2}p_n=0\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+(a_{nn}-1)p_n=0\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(A-I)\vec{p}=\vec{0}</math>
dove ''A'' è la [[Matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice quadrata]] (''a<sub>ij</sub>'') dei coefficienti tecnici di produzione e ''I'' è la [[matrice identità]].
L'ultimo è un [[Sistema di equazioni lineari#Sistema lineare omogeneo|sistema lineare omogeneo]], che ammette soluzioni non banali (diverse da ''p<sub>i</sub>''=0 per qualsiasi ''i'') e non negative se 1 è l'[[autovalore]] massimo di ''A''. Si può dimostrare che tale condizione sussiste sempre e, pertanto, che il sistema permette di trovare i prezzi che garantiscono la riproducibilità dell'economia.
Il modello chiuso, peraltro, è il modello di un'economia statica che riproduce costantemente se stessa, producendo e consumando sempre le stesse quantità.
== Il modello aperto di Leontief==
| |||