Sistema input-output: differenze tra le versioni

Versione delle 16:31, 20 lug 2008

Versione delle 17:12, 20 lug 2008

Riga 81:

Analiticamente, il prodotto totale dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore si indica con ''q_i'', la quantità prodotta dall<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore e impiegata dal ''j''-esimo si indica con ''q_ij'', il prezzo del prodotto dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore con ''p_i''. Le due tabelle costituiscono casi particolari dei due [[Sistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]]:

:<math>\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots+q_{1n}=q_1\\q_{21}+q_{22}+\dots+q_{2n}=q_2\\ \dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots+q_{nn}=q_n\end{cases}\qquad\begin{cases}q_{11}p_1+q_{21}p_2+\dots+q_{n1}p_n=q_1p_1\\q_{12}p_1+q_{22}p_2+\dots+q_{n2}p_n=q_2p_2\\ \dots \\q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+\dots+q_{nn}p_n=q_np_n\end{cases}</math>

:<math>(1)\quad\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots+q_{1n}=q_1\\q_{21}+q_{22}+\dots+q_{2n}=q_2\\ \dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots+q_{nn}=q_n\end{cases}</math>

:<math>(2)\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots+q_{1n}=q_1\\q_{21}+q_{22}+\dots+q_{2n}=q_2\\ \dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots+q_{nn}=q_n\end{cases}\qquadquad\begin{cases}q_{11}p_1+q_{21}p_2+\dots+q_{n1}p_n=q_1p_1\\q_{12}p_1+q_{22}p_2+\dots+q_{n2}p_n=q_2p_2\\ \dots \\q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+\dots+q_{nn}p_n=q_np_n\end{cases}</math>

Da notare che le righe del primo sistema corrispondono alle righe della Tabella 1, mentre le righe del secondo corrispondo ''alle colonne'' della Tabella 2 ed esprimono la condizione di «pareggio», cioè di uguaglianza tra il valore degli input di ciascun settore (somma della relativa colonna) e il valore del suo output (somma di riga).

Line 93 ⟶ 98:

Dividendo ciascuna riga del secondo sistema per le quantità prodotte, si ottiene un nuovo sistema espresso in termini dei coefficienti tecnici di produzione:

:<math>(13)\quad\begin{cases}a_{11}p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=p_1\\a_{12}p_1+a_{22}p_2+\dots+a_{n2}p_n=p_2\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+a_{nn}p_n=p_n\end{cases}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;in forma matriciale:&nbsp;&nbsp;<math>A\vec{p}=\vec{p}</math>

ovvero:

:<math>(24)\quad\begin{cases}(a_{11}-1)p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=0\\a_{12}p_1+(a_{22}-1)p_2+\dots+a_{n2}p_n=0\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+(a_{nn}-1)p_n=0\end{cases}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;in forma matriciale:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(A-I)\vec{p}=\vec{0}</math>

dove ''A'' è la [[Matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice quadrata]] (''a_ij'') dei coefficienti tecnici di produzione e ''I'' è la [[matrice identità]].