Forma indeterminata: differenze tra le versioni

Versione delle 22:34, 19 lug 2008

Versione delle 10:48, 23 ago 2008

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si avvicini a un qualsiasi numero reale, a +∞ o a −∞, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla [[retta reale estesa]]; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni ''f'' e ''g''. Ad esempio,

:<math>\lim_{x\rightarrow 0}{\sinmathrm{sen}(x)\over x}=1</math> ,

mentre

:<math>\lim_{x\rightarrow 49}{x-49\over\sqrt{x}\,-7}=14 \, .</math> .

La sostituzione diretta delle funzioni a numeratore e a denominatore con i corrispondenti limiti per entrambe i precedenti rapporti porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata 0/0, mentre i [[limite di una funzione|limiti]] di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a 1 e 14 rispettivamente.

corrispondenti limiti per entrambe i precedenti rapporti

porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata 0/0,

mentre i [[limite di una funzione|limiti]] di entrambi i rapporti esistono

effettivamente e sono uguali a 1 e 14 rispettivamente.

Per altri rapporti che conducono alla forma indeterminata il limite non esiste.

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Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza.

In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la [[regola di de L'Hôpital]], o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione

altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione

fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

== Tavola ==

Trasformazioni per risolvere forme di indeterminazione con il teorema di De l'Hopital

{| class="wikitable"

{| border=1 style="border: 1px solid #000; background-color: #ffffff; width: 85%;"

|'''Forma'''

|'''Condizione'''

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|-

|<math>\lim f(x)^{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=0</math>, <math>\lim g(x)=0</math> [<ref>http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/]</ref>

|<math>0^0</math>

|<math>e^{(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)})}</math>

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== Limite notevole del tipo <math>\infty \over \infty</math> ==

Consideriamo la successione:

:<math>{P_p(n) \over Q_q(n)} </math> <math>= {{a_pn^p + a_{p-1}n^{p-1}+ ... +a_1n + a_0} \over {b_pn^p + b_{p-1}n^{p-1}+ ... +b_1n + b_0}}</math>

quoziente di due [[polinomio|polinomi]] di grado ''p'' e ''q''. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata

<math>\infty \over \infty</math> .

Raccogliendo <math>n^p</math> al numeratore e <math>n^q</math> al denominatore si ha:

:<math> n ^ {p-q} {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ... +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_p + b_{p-1}n^{-1} + ... +b_1n^{1-p}+b_0n^{-p}}}</math>

cioè

:<math> n^ {p-q}c_n</math>

dove:

:<math>c_n = {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ... +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_p + b_{p-1}n^{-1} + ... +b_1n^{1-p}+b_0n^{-p}}}</math>

poiché <math>n^{-k} \rightarrow 0 </math>qualunque sia <math>k \in \N</math> non nullo si ha:

:<math>a_n = {{P_p(n)} \over {Q_q(n)}}</math> vale:

* <math>{a_p \over b_q} \ \mathbf{se} \ p = q</math>

* <math>sign\mathrm{segno} \left( {a_p \over b_q} \right) \infty \ \mathbf{se} \ p > q</math>

* <math>0 \ \mathbf{se} \ p < q</math>

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*<math>0 \ \mathbf{se} \ p \le q</math>

==Note==

== Collegamenti esterni ==

<references/>

Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata: <br>

http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm

== Voci correlate ==

*[[Tavola dei limiti notevoli]]

*[[Limite (matematica)|Limite]]

== Collegamenti esterni ==

Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata: <br>

* http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm

{{analisi matematica}}

{{Portale|matematica}}