Funzione omogenea: differenze tra le versioni

Versione delle 18:06, 19 ago 2008

Versione delle 00:00, 26 ago 2008

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== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee ==

Sia <math>f:A\rightarrow\ R</math> una [[funzione differenziabile]] su un cono [[insieme aperto|aperto]] <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alphak</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta '''identità di Eulero''':

Il [[teorema]] afferma che

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = kfk f(x_{1},x) .\forall .x ., x_{n})\in A</math>

il primo membro è esattamente il [[prodotto scalare]] <math>\langle \nabla f(x), x \rangle</math>.

'''Dimostrazione:'''

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----

'''Dimostrazione alternativa:'''

== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee (dimostrazione alternativa) ==

'''Enunciato:'''

Sia <math>f:A\rightarrow\ R</math> una funzione differenziabile su un cono aperto <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alpha</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta identità di Eulero:

<math>\langle \nabla f(x), x \rangle = \alpha f(x) \forall x \in A</math>

'''

Dimostrazione:'''

Per <math>x \in A</math> consideriamo la funzione <math>F:]0, \infty[ \rightarrow R</math> con legge:

<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^\alphak}</math>

Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alphak</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ed uguale ad <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Da un noto [[Funzione_costante|teorema]] ciò avviene se e solo la derivata prima di <math>F(x)</math> è [[Funzione costante|identicamente nulla]] in tutto il suo dominio <math>]0, \infty[</math>. Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[regola della catena|teorema di derivazione delle funzioni composte]] ed applicando la formula si ottiene:

Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[teorema di derivazione delle funzioni composte]] ed applicando la formula si ottiene:

<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2\alpha2k}} [\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t^{\alphak}-\alphak t^{\alphak-1} f(tx)]=\frac 1 {t^{\alphak+1}}[\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t - \alphak f(tx)]</math>

imponendo la condizione di funzione costante otteniamo:

<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t = \alphak f(tx) \forall x \in A, \forall t>0</math>

sfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:

<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) x_i t = \alphak f(x) \forall x \in A</math>

che altro non è che l'identità di Eulero (solo che il prodotto scalare è esplicitato).

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